Номер 827, страница 276 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 827, страница 276.

Условие.

827. Пусть $a$, $b$, $c$ — различные числа, причём $c \ne 0$. Доказать, что если уравнения $x^2 + ax + bc = 0$ и $x^2 + bx + ca = 0$ имеют ровно один общий корень, то другие корни этих уравнений являются корнями уравнения $x^2 + cx + ab = 0$.

Решение 4.

Пусть $x_0$ — общий корень уравнений $x^2 + ax + bc = 0$ и $x^2 + bx + ca = 0$.Тогда $x_0$ удовлетворяет обоим уравнениям:
$x_0^2 + ax_0 + bc = 0 \quad (1)$
$x_0^2 + bx_0 + ca = 0 \quad (2)$

Вычтем второе уравнение из первого:
$(x_0^2 + ax_0 + bc) - (x_0^2 + bx_0 + ca) = 0$
$ax_0 - bx_0 + bc - ca = 0$
$x_0(a - b) - c(a - b) = 0$
$(x_0 - c)(a - b) = 0$

По условию, числа $a$ и $b$ различны, следовательно, $a - b \ne 0$.Тогда из последнего равенства следует, что $x_0 - c = 0$, то есть $x_0 = c$.Таким образом, общий корень двух уравнений — это $c$.

Поскольку $x_0 = c$ является корнем первого уравнения, подставим его в уравнение (1):
$c^2 + a \cdot c + bc = 0$
$c(c + a + b) = 0$

По условию, $c \ne 0$. Следовательно, должно выполняться равенство:
$a + b + c = 0$

Теперь найдем другие корни данных уравнений, используя теорему Виета.
Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + ax + bc = 0$. Мы уже знаем, что один из корней, скажем $x_1$, равен $c$.
По теореме Виета, произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = bc$.
Подставляем $x_1 = c$:
$c \cdot x_2 = bc$
Так как $c \ne 0$, мы можем разделить обе части на $c$, получая $x_2 = b$.
Итак, второй (другой) корень первого уравнения — это $b$.

Аналогично, пусть $y_1$ и $y_2$ — корни уравнения $x^2 + bx + ca = 0$. Один из корней, $y_1$, равен $c$.
По теореме Виета, произведение корней равно $y_1 \cdot y_2 = ca$.
Подставляем $y_1 = c$:
$c \cdot y_2 = ca$
Так как $c \ne 0$, делим на $c$ и получаем $y_2 = a$.
Итак, второй (другой) корень второго уравнения — это $a$.

Таким образом, "другие" корни исходных уравнений — это $a$ и $b$. Нам нужно доказать, что они являются корнями уравнения $x^2 + cx + ab = 0$.

Снова воспользуемся теоремой Виета (в обратную сторону). Если $a$ и $b$ являются корнями некоторого приведенного квадратного уравнения, то это уравнение имеет вид $x^2 - (a+b)x + ab = 0$.
Рассмотрим уравнение, которое нам дано: $x^2 + cx + ab = 0$.
1. Свободный член этого уравнения равен $ab$, что совпадает с произведением наших чисел $a$ и $b$.
2. Коэффициент при $x$ равен $c$. В уравнении, составленном по корням $a$ и $b$, этот коэффициент равен $-(a+b)$.

Ранее мы установили, что $a + b + c = 0$. Отсюда следует, что $a + b = -c$, или $c = -(a+b)$.
Подставим это в наше целевое уравнение:
$x^2 + (-(a+b))x + ab = 0$
$x^2 - (a+b)x + ab = 0$
Это в точности уравнение, корнями которого являются $a$ и $b$. Следовательно, $a$ и $b$ являются корнями уравнения $x^2 + cx + ab = 0$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.