Номер 828, страница 276 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 828, страница 276.

Условие.

828. Найти все значения $r$, при которых корни квадратного уравнения $(r-4)x^2-2(r-3)x+r=0$ положительны.

Решение 4.

Рассмотрим данное уравнение $(r-4)x^2 - 2(r-3)x + r = 0$. Для того чтобы корни этого уравнения были положительны, необходимо рассмотреть два случая в зависимости от коэффициента при $x^2$.

Случай 1: Уравнение является линейным
Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю: $r - 4 = 0 \implies r = 4$.
Подставим это значение в исходное уравнение, чтобы найти его корень:
$(4-4)x^2 - 2(4-3)x + 4 = 0$
$0 \cdot x^2 - 2(1)x + 4 = 0$
$-2x + 4 = 0$
$2x = 4$
$x = 2$
Корень уравнения $x=2$ является положительным числом. Следовательно, значение $r=4$ является решением задачи.

Случай 2: Уравнение является квадратным
Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $r-4 \neq 0 \implies r \neq 4$.
Для того чтобы квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имело два положительных корня (включая случай совпадающих корней, $x_1=x_2$), должны одновременно выполняться три условия:
1. Дискриминант должен быть неотрицательным ($D \ge 0$), что обеспечивает наличие действительных корней.
2. Произведение корней должно быть положительным ($x_1 \cdot x_2 > 0$). По теореме Виета, это означает $\frac{c}{a} > 0$.
3. Сумма корней должна быть положительной ($x_1 + x_2 > 0$). По теореме Виета, это означает $-\frac{b}{a} > 0$.

Применим эти условия к нашему уравнению, где коэффициенты $a = r-4$, $b = -2(r-3)$, $c = r$.

1. Условие на дискриминант
$D = b^2 - 4ac = (-2(r-3))^2 - 4(r-4)r \ge 0$
$4(r-3)^2 - 4r(r-4) \ge 0$
Разделим обе части на 4 для упрощения:
$(r^2 - 6r + 9) - (r^2 - 4r) \ge 0$
$r^2 - 6r + 9 - r^2 + 4r \ge 0$
$-2r + 9 \ge 0$
$9 \ge 2r$
$r \le \frac{9}{2}$ или $r \le 4.5$.

2. Условие на произведение корней
$\frac{c}{a} = \frac{r}{r-4} > 0$.
Решаем это неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $r=0$ и $r=4$. Они разбивают числовую ось на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 4)$ и $(4, +\infty)$. Проверяя знак дроби на каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $r \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$.

3. Условие на сумму корней
$-\frac{b}{a} = -\frac{-2(r-3)}{r-4} = \frac{2(r-3)}{r-4} > 0$.
Так как 2 - положительное число, неравенство сводится к $\frac{r-3}{r-4} > 0$.
Решаем методом интервалов. Корни: $r=3$ и $r=4$. Интервалы: $(-\infty, 3)$, $(3, 4)$ и $(4, +\infty)$. Проверяя знак, получаем, что неравенство выполняется при $r \in (-\infty, 3) \cup (4, +\infty)$.

Объединение условий для квадратного случая
Теперь найдем пересечение всех трех полученных множеств решений:
1) $r \in (-\infty, 4.5]$
2) $r \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$
3) $r \in (-\infty, 3) \cup (4, +\infty)$

Сначала найдем пересечение условий (2) и (3): $((-\infty, 0) \cup (4, +\infty)) \cap ((-\infty, 3) \cup (4, +\infty)) = (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$.
Затем пересечем полученный результат с условием (1): $((-\infty, 0) \cup (4, +\infty)) \cap (-\infty, 4.5]$.
Это дает нам итоговое множество для квадратного случая: $r \in (-\infty, 0) \cup (4, 4.5]$.

Итоговый результат
Объединим решения, полученные в обоих случаях:
Из случая 1 (линейное уравнение): $r = 4$.
Из случая 2 (квадратное уравнение): $r \in (-\infty, 0) \cup (4, 4.5]$.
Объединение этих множеств дает окончательный ответ.

Ответ: $r \in (-\infty, 0) \cup [4, 4.5]$.