Номер 825, страница 276 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 825, страница 276.

Условие.

825. Доказать, что если $r<0$, то квадратное уравнение

$x^2 - 2(r-1)x + 2r + 1 = 0$

имеет действительные корни. При каких значениях $r$ ($r<0$) оба корня этого уравнения отрицательны?

Решение 4.

Доказать, что если r < 0, то квадратное уравнение $x^2-2(r-1)x+2r+1=0$ имеет действительные корни.

Квадратное уравнение имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ неотрицателен ($D \ge 0$). Для заданного уравнения $x^2-2(r-1)x+2r+1=0$ коэффициенты равны: $a=1$, $b=-2(r-1)$, $c=2r+1$.Поскольку коэффициент $b$ является четным, для удобства вычислений найдем дискриминант, деленный на 4, который обозначается как $D/4$ или $D_1$:$D/4 = (b/2)^2 - ac = (-(r-1))^2 - 1 \cdot (2r+1) = (r-1)^2 - (2r+1)$.Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:$D/4 = (r^2 - 2r + 1) - 2r - 1 = r^2 - 4r$.

Условие наличия действительных корней — $D/4 \ge 0$, то есть $r^2 - 4r \ge 0$. Разложим левую часть этого неравенства на множители: $r(r-4) \ge 0$.Рассмотрим это неравенство при заданном условии $r < 0$.Если $r < 0$, то множитель $r$ отрицателен.Если $r < 0$, то множитель $(r-4)$ также будет отрицателен (поскольку $r-4 < 0-4 = -4$).Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Следовательно, при $r < 0$ всегда выполняется строгое неравенство $r(r-4) > 0$.

Поскольку для любого $r<0$ дискриминант $D = 4(r^2-4r)$ строго положителен, данное квадратное уравнение всегда имеет два различных действительных корня. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

При каких значениях r (r < 0) оба корня этого уравнения отрицательны?

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. Чтобы оба корня были отрицательными, должны одновременно выполняться три условия (для параболы с ветвями вверх, как в нашем случае, где $a=1>0$):1. Наличие действительных корней ($D \ge 0$). Как мы доказали в первой части, для всех $r < 0$ это условие выполняется ($D > 0$).2. Сумма корней должна быть отрицательной: $x_1 + x_2 < 0$.3. Произведение корней должно быть положительным: $x_1 \cdot x_2 > 0$.

Применим теорему Виета к уравнению $x^2 - 2(r-1)x + 2r + 1 = 0$:Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-2(r-1)) = 2(r-1)$.Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 2r+1$.

Теперь составим систему неравенств с учетом исходного условия $r<0$:$\begin{cases} r < 0 \\ x_1 + x_2 < 0 \\ x_1 \cdot x_2 > 0\end{cases}\implies\begin{cases} r < 0 \\ 2(r-1) < 0 \\ 2r+1 > 0\end{cases}$

Решим эту систему неравенств:Из второго неравенства: $2(r-1) < 0 \implies r-1 < 0 \implies r < 1$.Из третьего неравенства: $2r+1 > 0 \implies 2r > -1 \implies r > -1/2$.

Необходимо найти пересечение трех полученных условий: $r < 0$, $r < 1$ и $r > -1/2$.Условие $r < 1$ является избыточным, так как оно следует из условия $r < 0$.Следовательно, искомые значения $r$ должны удовлетворять системе из двух неравенств:$\begin{cases} r < 0 \\ r > -1/2\end{cases}$Это соответствует интервалу $-1/2 < r < 0$.

Ответ: $r \in (-1/2; 0)$.