Номер 829, страница 276 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 829, страница 276.

Условие.

829. Доказать, что корни уравнения $x^2+px+q=0$ действительные и отрицательные только тогда, когда $p^2-4q\ge 0$, $p>0$, $q>0$.

Решение 4.

Для доказательства утверждения типа «тогда и только тогда» необходимо доказать две части: необходимость и достаточность.

Необходимость (⇒)

Предположим, что корни уравнения $x^2+px+q=0$, которые мы обозначим как $x_1$ и $x_2$, являются действительными и отрицательными. Докажем, что из этого следуют условия $p^2-4q \ge 0$, $p>0$ и $q>0$.

1. Так как корни уравнения действительные, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным. Для данного уравнения $D = p^2-4q$. Следовательно, должно выполняться условие $p^2-4q \ge 0$.

2. Воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ сумма корней равна $x_1+x_2 = -p$, а их произведение равно $x_1 \cdot x_2 = q$.

По условию, оба корня отрицательны: $x_1 < 0$ и $x_2 < 0$.
Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна, поэтому $x_1+x_2 < 0$. Из этого следует, что $-p < 0$, что равносильно $p>0$.
Произведение двух отрицательных чисел всегда положительно, поэтому $x_1 \cdot x_2 > 0$. Из этого следует, что $q>0$.

Таким образом, если корни уравнения действительные и отрицательные, то все три условия ($p^2-4q \ge 0$, $p>0$ и $q>0$) обязательно выполняются.

Достаточность (⇐)

Теперь предположим, что для коэффициентов уравнения $x^2+px+q=0$ выполняются условия $p^2-4q \ge 0$, $p>0$ и $q>0$. Докажем, что корни этого уравнения являются действительными и отрицательными.

1. Условие $p^2-4q \ge 0$ означает, что дискриминант $D$ уравнения неотрицателен. Это является достаточным условием для того, чтобы уравнение имело действительные корни.

2. Снова обратимся к теореме Виета: $x_1+x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$.
Из условия $q>0$ следует, что произведение корней $x_1 \cdot x_2$ положительно. Это возможно только если корни имеют одинаковый знак (оба положительны или оба отрицательны).
Из условия $p>0$ следует, что сумма корней $x_1+x_2 = -p$ отрицательна. Сумма двух чисел одинакового знака может быть отрицательной только в том случае, если оба числа отрицательны.

Следовательно, оба корня $x_1$ и $x_2$ являются действительными и отрицательными.

Поскольку мы доказали и необходимость, и достаточность, исходное утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано.