Номер 834, страница 277 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 834, страница 277.

Условие.

834. Доказать, что для любых положительных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство:

1) $a + \frac{1}{a} + b + \frac{1}{b} \ge 2\sqrt{ab} + \frac{2}{\sqrt{ab}}$;

2) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + 1 \ge \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{ab}}$.

Решение 4.

1) Для доказательства неравенства $a + \frac{1}{a} + b + \frac{1}{b} \ge 2\sqrt{ab} + \frac{2}{\sqrt{ab}}$ воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши). Для любых двух положительных чисел $x$ и $y$ оно имеет вид $x+y \ge 2\sqrt{xy}$.

Сначала сгруппируем члены в левой части исходного неравенства: $(a+b) + (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$.

Теперь применим неравенство Коши к паре чисел $a$ и $b$:

$a+b \ge 2\sqrt{ab}$

Затем применим это же неравенство к паре чисел $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge 2\sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}} = 2\sqrt{\frac{1}{ab}} = \frac{2}{\sqrt{ab}}$

Сложив два полученных неравенства, получаем:

$(a+b) + (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \ge 2\sqrt{ab} + \frac{2}{\sqrt{ab}}$

Это доказывает справедливость исходного неравенства. Равенство в данном неравенстве достигается тогда и только тогда, когда $a=b$.

Ответ: Неравенство доказано.

2) Докажем неравенство $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + 1 \ge \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{ab}}$.

Для удобства введем замену переменных. Пусть $x = \frac{1}{\sqrt{a}}$ и $y = \frac{1}{\sqrt{b}}$. Поскольку по условию $a > 0$ и $b > 0$, то и переменные $x, y$ также положительны.В новых переменных члены неравенства примут вид: $\frac{1}{a} = x^2$, $\frac{1}{b} = y^2$ и $\frac{1}{\sqrt{ab}} = \frac{1}{\sqrt{a}}\frac{1}{\sqrt{b}} = xy$.

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$x^2 + y^2 + 1 \ge x + y + xy$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + y^2 + 1 - x - y - xy \ge 0$

Чтобы доказать это неравенство, умножим обе его части на 2 (так как 2 > 0, знак неравенства не изменится):

$2x^2 + 2y^2 + 2 - 2x - 2y - 2xy \ge 0$

Теперь сгруппируем члены в левой части таким образом, чтобы выделить полные квадраты:

$(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) \ge 0$

Это выражение представляет собой сумму трех квадратов:

$(x-y)^2 + (x-1)^2 + (y-1)^2 \ge 0$

Полученное неравенство является верным для любых действительных чисел $x$ и $y$, так как квадрат любого действительного числа — неотрицательная величина, и сумма неотрицательных величин также неотрицательна. Следовательно, исходное неравенство верно для любых положительных чисел $a$ и $b$. Равенство достигается при $x=y=1$, что соответствует $a=b=1$.

Ответ: Неравенство доказано.