Номер 831, страница 277 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 831, страница 277.

Условие.

831. Разложить многочлен $x^5+x+1$ на два множителя с целыми коэффициентами.

Решение 4.

Для разложения многочлена $x^5+x+1$ на множители с целыми коэффициентами воспользуемся методом добавления и вычитания слагаемых. Этот приём поможет нам сгруппировать члены многочлена и выделить общий множитель.

Прибавим и вычтем из многочлена одночлен $x^2$. Значение выражения при этом не изменится:

$x^5+x+1 = x^5 - x^2 + x^2 + x + 1$

Теперь сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(x^5 - x^2) + (x^2 + x + 1)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x^2$:

$x^2(x^3 - 1) + (x^2 + x + 1)$

Выражение $(x^3 - 1)$ представляет собой разность кубов, которую можно разложить по формуле $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)$

Подставим полученное разложение обратно в наше выражение:

$x^2(x-1)(x^2+x+1) + (x^2+x+1)$

Теперь мы видим, что оба слагаемых, $x^2(x-1)(x^2+x+1)$ и $(x^2+x+1)$, имеют общий множитель $(x^2+x+1)$. Вынесем его за скобки:

$(x^2+x+1)[x^2(x-1)+1]$

Раскроем скобки и упростим второй множитель:

$x^2(x-1)+1 = x^3 - x^2 + 1$

В результате мы получаем искомое разложение исходного многочлена на два множителя с целыми коэффициентами:

$x^5+x+1 = (x^2+x+1)(x^3-x^2+1)$

Оба множителя имеют целые коэффициенты, что соответствует условию задачи. Можно также убедиться, что они неприводимы над полем целых чисел. Дискриминант многочлена $x^2+x+1$ равен $D=1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, поэтому у него нет действительных (а значит, и целых) корней. Многочлен $x^3-x^2+1$ не имеет целых корней (возможные корни по теореме о рациональных корнях, $\pm1$, не подходят), поэтому он также неприводим.

Ответ: $(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)$.