Номер 826, страница 276 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 826, страница 276.

Условие.

826. Найти все значения $a$, при которых уравнения $x^2 + ax + 1 = 0$ и $x^2 + x + a = 0$ имеют хотя бы один общий действительный корень.

Решение 4.

Пусть $x_0$ — общий действительный корень данных уравнений. Это означает, что $x_0$ является решением как первого, так и второго уравнения. Следовательно, для $x_0$ верны следующие равенства:

$\begin{cases}x_0^2 + ax_0 + 1 = 0 \\x_0^2 + x_0 + a = 0\end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить член $x_0^2$:

$(x_0^2 + ax_0 + 1) - (x_0^2 + x_0 + a) = 0$

$ax_0 - x_0 + 1 - a = 0$

Сгруппируем члены, чтобы выразить $x_0$:

$x_0(a - 1) - (a - 1) = 0$

$(a - 1)(x_0 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: $a - 1 = 0$

В этом случае $a = 1$. Подставим это значение в оба исходных уравнения. Они станут идентичными:

$x^2 + 1 \cdot x + 1 = 0 \Rightarrow x^2 + x + 1 = 0$

Чтобы определить, есть ли у этого уравнения действительные корни, найдем его дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, при $a=1$ у уравнений нет общих действительных корней, и это значение нам не подходит.

Случай 2: $x_0 - 1 = 0$

В этом случае общий корень $x_0 = 1$. Подставим это значение в любое из исходных уравнений, чтобы найти соответствующее значение параметра $a$. Используем второе уравнение $x^2 + x + a = 0$:

$1^2 + 1 + a = 0$

$1 + 1 + a = 0$

$2 + a = 0$

$a = -2$

Теперь необходимо выполнить проверку: убедиться, что при $a = -2$ уравнения действительно имеют общий действительный корень.

Первое уравнение при $a = -2$:

$x^2 + (-2)x + 1 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x-1)^2 = 0$

Это уравнение имеет один действительный корень $x=1$.

Второе уравнение при $a = -2$:

$x^2 + x + (-2) = 0 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0$

Найдем его корни (например, по теореме Виета или через дискриминант): $(x+2)(x-1) = 0$. Корни этого уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

При $a = -2$ оба уравнения имеют общий действительный корень $x = 1$. Следовательно, это значение параметра $a$ является решением задачи.

Ответ: $a = -2$.