Номер 823, страница 276 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 823, страница 276.

Условие.

823. Доказать, что если квадратное уравнение $x^2+px+q=0$, где $p$ и $q$ — целые числа, имеет рациональные корни, то эти корни — целые числа.

Решение 4.

Пусть дано квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$, где коэффициенты $p$ и $q$ являются целыми числами ($p, q \in \mathbb{Z}$). По условию, это уравнение имеет рациональные корни. Необходимо доказать, что эти корни являются целыми числами.

Пусть $x_0$ — один из рациональных корней уравнения. Представим его в виде несократимой дроби:$x_0 = \frac{m}{k}$, где $m \in \mathbb{Z}$, $k \in \mathbb{N}$ (т.е. $k$ — натуральное число), и наибольший общий делитель НОД$(m, k) = 1$.

Поскольку $x_0$ является корнем уравнения, он обращает его в верное равенство при подстановке:

$(\frac{m}{k})^2 + p(\frac{m}{k}) + q = 0$

$\frac{m^2}{k^2} + \frac{pm}{k} + q = 0$

Умножим обе части уравнения на $k^2$, чтобы избавиться от знаменателей:

$m^2 + pmk + qk^2 = 0$

Выразим из этого равенства член $m^2$:

$m^2 = -pmk - qk^2$

Вынесем $k$ за скобки в правой части:

$m^2 = -k(pm + qk)$

Из полученного равенства следует, что правая часть делится на $k$ (поскольку является произведением $k$ и целого числа $-(pm + qk)$). Значит, и левая часть, то есть $m^2$, также должна делиться на $k$.

Итак, мы имеем два условия:

1. $m^2$ делится на $k$.

2. НОД$(m, k) = 1$ (дробь $\frac{m}{k}$ несократима).

Если два числа $m$ и $k$ взаимно просты (не имеют общих простых делителей), то и $m^2$ и $k$ также взаимно просты. Единственный способ, которым натуральное число $k$ может делить $m^2$ при условии, что они взаимно просты, — это если $k=1$.

Поскольку $k=1$, наш корень $x_0 = \frac{m}{k} = \frac{m}{1} = m$ является целым числом.

Таким образом, мы доказали, что любой рациональный корень данного уравнения должен быть целым. Если у уравнения два рациональных корня, то, применив то же рассуждение ко второму корню, мы получим, что он также является целым.

Также целочисленность второго корня можно показать с помощью теоремы Виета. Если $x_0$ и $x_1$ — корни, то их сумма $x_0 + x_1 = -p$. Тогда второй корень $x_1 = -p - x_0$. Так как $p$ — целое число по условию, и мы доказали, что $x_0$ — целое число, то их разность $(-p - x_0)$ также является целым числом. Следовательно, и второй корень $x_1$ является целым.

Ответ: Утверждение доказано. Если квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$ с целыми коэффициентами $p$ и $q$ имеет рациональные корни, то эти корни являются целыми числами.