Номер 819, страница 276 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 819, страница 276.

Условие.

819. Найти все значения $r$, при которых уравнение $x^2+rx+2r-3=0$ имеет:

1) равные корни;

2) действительные корни, модули которых равны, а знаки противоположны.

Решение 4.

Дано квадратное уравнение $x^2 + rx + 2r - 3 = 0$. Это уравнение вида $ax^2+bx+c=0$, где коэффициенты равны: $a = 1$, $b = r$, $c = 2r - 3$.

1) равные корни;

Квадратное уравнение имеет равные корни (или один корень кратности 2), когда его дискриминант $D$ равен нулю. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. Подставим наши коэффициенты: $D = r^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2r - 3)$ $D = r^2 - 8r + 12$ Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значения $r$, при которых корни равны: $r^2 - 8r + 12 = 0$ Это квадратное уравнение относительно $r$. Решим его. Найдем дискриминант этого уравнения (обозначим $D_r$): $D_r = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$ Корни уравнения для $r$: $r_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$ $r_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$ Таким образом, уравнение имеет равные корни при $r=2$ и $r=6$.

Ответ: $r=2, r=6$.

2) действительные корни, модули которых равны, а знаки противоположны.

Пусть корни уравнения — это $x_1$ и $x_2$. Условие, что их модули равны, а знаки противоположны, означает, что $x_1 = -x_2$ (при условии, что корни не равны нулю). Из этого следует, что сумма корней равна нулю: $x_1 + x_2 = 0$. Воспользуемся теоремой Виета для нашего уравнения $x^2 + rx + 2r - 3 = 0$. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{r}{1} = -r$. Так как $x_1 + x_2 = 0$, получаем: $-r = 0$ $r = 0$ Теперь необходимо проверить, что при $r=0$ уравнение действительно имеет действительные корни, удовлетворяющие условию. Подставим $r=0$ в исходное уравнение: $x^2 + 0 \cdot x + 2 \cdot 0 - 3 = 0$ $x^2 - 3 = 0$ $x^2 = 3$ Корни этого уравнения: $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$. Эти корни являются действительными, их модули равны ($|\sqrt{3}| = |-\sqrt{3}|$), а знаки противоположны. Также можно проверить значение дискриминанта при $r=0$: $D = r^2 - 8r + 12 = 0^2 - 8 \cdot 0 + 12 = 12$. Так как $D=12 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, что соответствует нашему результату. Следовательно, условие выполняется при $r=0$.

Ответ: $r=0$.