Номер 815, страница 275 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 815, страница 275.

Условие.

815. Пусть $x+y=a$, $xy=b$. Доказать, что:

1) $x^3 + y^3 = a^3 - 3ab$;

2) $x^4 + y^4 = a^4 - 4a^2b + 2b^2$;

3) $x^5 + y^5 = a^5 - 5a^3b + 5ab^2$;

4) $x^6 + y^6 = a^6 - 6a^4b + 9a^2b^2 - 2b^3$.

Решение 4.

1)

Для доказательства воспользуемся формулой сокращенного умножения для куба суммы: $ (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 $.

Сгруппируем слагаемые: $ (x+y)^3 = (x^3+y^3) + 3xy(x+y) $.

Выразим из этого равенства искомую сумму кубов $ x^3+y^3 $:

$ x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) $

Подставим известные значения из условия задачи: $ x+y=a $ и $ xy=b $.

$ x^3+y^3 = a^3 - 3ab $

Что и требовалось доказать.

Ответ: $x^3 + y^3 = a^3 - 3ab$.

2)

Сначала найдем выражение для $ x^2+y^2 $. Для этого возведем в квадрат сумму $ x+y $:

$ (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 $

Отсюда $ x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy $. Подставив известные значения, получаем:

$ x^2+y^2 = a^2 - 2b $

Теперь, чтобы найти $ x^4+y^4 $, возведем в квадрат полученное выражение для $ x^2+y^2 $:

$ (x^2+y^2)^2 = (x^2)^2 + 2x^2y^2 + (y^2)^2 = x^4+y^4 + 2(xy)^2 $

Выразим отсюда $ x^4+y^4 $:

$ x^4+y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2(xy)^2 $

Подставим ранее найденные выражения:

$ x^4+y^4 = (a^2-2b)^2 - 2b^2 $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ x^4+y^4 = (a^4 - 4a^2b + 4b^2) - 2b^2 = a^4 - 4a^2b + 2b^2 $

Что и требовалось доказать.

Ответ: $x^4 + y^4 = a^4 - 4a^2b + 2b^2$.

3)

Для нахождения $ x^5+y^5 $ перемножим выражения $ x^2+y^2 $ и $ x^3+y^3 $:

$ (x^2+y^2)(x^3+y^3) = x^5 + x^2y^3 + x^3y^2 + y^5 = (x^5+y^5) + x^2y^2(x+y) $

Выразим отсюда $ x^5+y^5 $:

$ x^5+y^5 = (x^2+y^2)(x^3+y^3) - (xy)^2(x+y) $

Из предыдущих пунктов мы знаем, что $ x^2+y^2 = a^2-2b $ и $ x^3+y^3=a^3-3ab $. Подставим эти выражения, а также $ x+y=a $ и $ xy=b $:

$ x^5+y^5 = (a^2-2b)(a^3-3ab) - b^2 a $

Раскроем скобки в произведении:

$ (a^2-2b)(a^3-3ab) = a^5 - 3a^3b - 2a^3b + 6ab^2 = a^5 - 5a^3b + 6ab^2 $

Подставим результат обратно и завершим вычисления:

$ x^5+y^5 = (a^5 - 5a^3b + 6ab^2) - ab^2 = a^5 - 5a^3b + 5ab^2 $

Что и требовалось доказать.

Ответ: $x^5 + y^5 = a^5 - 5a^3b + 5ab^2$.

4)

Для нахождения $ x^6+y^6 $ возведем в квадрат выражение $ x^3+y^3 $:

$ (x^3+y^3)^2 = (x^3)^2 + 2x^3y^3 + (y^3)^2 = x^6+y^6 + 2(xy)^3 $

Выразим отсюда $ x^6+y^6 $:

$ x^6+y^6 = (x^3+y^3)^2 - 2(xy)^3 $

Из пункта 1 мы знаем, что $ x^3+y^3 = a^3-3ab $. Подставим это выражение и $ xy=b $:

$ x^6+y^6 = (a^3-3ab)^2 - 2b^3 $

Раскроем квадрат разности:

$ (a^3-3ab)^2 = (a^3)^2 - 2(a^3)(3ab) + (3ab)^2 = a^6 - 6a^4b + 9a^2b^2 $

Подставим результат в выражение для $ x^6+y^6 $:

$ x^6+y^6 = (a^6 - 6a^4b + 9a^2b^2) - 2b^3 = a^6 - 6a^4b + 9a^2b^2 - 2b^3 $

Что и требовалось доказать.

Ответ: $x^6 + y^6 = a^6 - 6a^4b + 9a^2b^2 - 2b^3$.