Номер 821, страница 276 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 821, страница 276.

Условие.

821. Доказать, что если $(a+b)^2 > c^2$ и $(a-b)^2 < c^2$, то квадратное уравнение $a^2x^2 + (b^2 + a^2 - c^2)x + b^2 = 0$ не имеет действительных корней.

Решение 4.

Для того чтобы доказать, что квадратное уравнение не имеет действительных корней, необходимо показать, что его дискриминант $D$ строго меньше нуля ($D<0$).

Дано квадратное уравнение: $a^2x^2 + (b^2 + a^2 - c^2)x + b^2 = 0$.

Коэффициенты этого уравнения: $A = a^2$, $B = b^2 + a^2 - c^2$, $C = b^2$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$:

$D = (b^2 + a^2 - c^2)^2 - 4 \cdot a^2 \cdot b^2$

$D = (a^2 + b^2 - c^2)^2 - (2ab)^2$

Полученное выражение является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$:

$D = (a^2 + b^2 - c^2 - 2ab)(a^2 + b^2 - c^2 + 2ab)$

Сгруппируем слагаемые в каждом из множителей, чтобы выделить формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$D = ((a^2 - 2ab + b^2) - c^2)((a^2 + 2ab + b^2) - c^2)$

$D = ((a-b)^2 - c^2)((a+b)^2 - c^2)$

Теперь воспользуемся условиями, данными в задаче:

1. По условию $(a+b)^2 > c^2$. Перенеся $c^2$ в левую часть, получаем, что второй множитель в выражении для $D$ положителен: $(a+b)^2 - c^2 > 0$.

2. По условию $(a-b)^2 < c^2$. Перенеся $c^2$ в левую часть, получаем, что первый множитель в выражении для $D$ отрицателен: $(a-b)^2 - c^2 < 0$.

Таким образом, дискриминант $D$ равен произведению отрицательного числа $((a-b)^2 - c^2)$ и положительного числа $((a+b)^2 - c^2)$. Произведение чисел с разными знаками всегда отрицательно.

Следовательно, $D < 0$.

Поскольку дискриминант данного квадратного уравнения меньше нуля, оно не имеет действительных корней. Утверждение доказано.

Ответ: Дискриминант уравнения равен $D = ((a-b)^2 - c^2)((a+b)^2 - c^2)$. Согласно условиям задачи, первый множитель $((a-b)^2 - c^2)$ отрицателен, а второй множитель $((a+b)^2 - c^2)$ положителен. Их произведение отрицательно, поэтому $D < 0$, и уравнение не имеет действительных корней.