Номер 824, страница 276 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 824, страница 276.

Условие.

824. Каким условиям удовлетворяют числа a и b, если биквадратное уравнение $x^4 - (a+b)x^2 + ab = 0$ имеет четыре различных действительных корня?

Решение 4.

Дано биквадратное уравнение $x^4 - (a+b)x^2 + ab = 0$. Для его решения введем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Так как по условию корни $x$ должны быть действительными, то $x^2 \ge 0$, следовательно, $y \ge 0$. После замены исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$:

$y^2 - (a+b)y + ab = 0$.

Чтобы исходное биквадратное уравнение имело четыре различных действительных корня, необходимо и достаточно, чтобы это квадратное уравнение относительно $y$ имело два различных положительных корня (то есть $y_1 > 0$ и $y_2 > 0$, причём $y_1 \ne y_2$). В этом случае каждое из уравнений $x^2 = y_1$ и $x^2 = y_2$ будет иметь по два различных действительных корня ($x = \pm\sqrt{y_1}$ и $x = \pm\sqrt{y_2}$), и все четыре корня для $x$ будут различны.

Квадратное уравнение имеет два различных положительных корня, если выполнены три условия: дискриминант больше нуля, сумма корней больше нуля и произведение корней больше нуля. Применим эти условия к уравнению $y^2 - (a+b)y + ab = 0$.

1. Дискриминант $D$ должен быть положительным.
$D = (-(a+b))^2 - 4 \cdot 1 \cdot ab = (a+b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Условие $D > 0$ означает $(a-b)^2 > 0$, что равносильно $a \ne b$.

2. Сумма корней $y_1 + y_2$ должна быть положительной.
По теореме Виета, $y_1 + y_2 = a+b$.
Следовательно, $a+b > 0$.

3. Произведение корней $y_1 \cdot y_2$ должно быть положительным.
По теореме Виета, $y_1 \cdot y_2 = ab$.
Следовательно, $ab > 0$.

Таким образом, числа $a$ и $b$ должны удовлетворять системе неравенств: $$ \begin{cases} a \ne b \\ a+b > 0 \\ ab > 0 \end{cases} $$

Проанализируем эту систему. Из условия $ab > 0$ следует, что $a$ и $b$ имеют одинаковый знак (оба положительные или оба отрицательные). Если предположить, что $a < 0$ и $b < 0$, то их сумма $a+b$ также будет отрицательной, что противоречит условию $a+b > 0$. Значит, $a$ и $b$ должны быть оба положительными: $a > 0$ и $b > 0$. Если $a > 0$ и $b > 0$, то условие $a+b > 0$ выполняется автоматически.

В итоге, для того чтобы биквадратное уравнение имело четыре различных действительных корня, необходимо и достаточно, чтобы числа $a$ и $b$ были положительными и не равными друг другу.

Ответ: $a > 0$, $b > 0$, $a \ne b$.