Номер 817, страница 275 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 817, страница 275.

Условие.

817. Решить уравнение:

1) $x^2 - 2|x - 1| = 2;$

2) $(x + 1)|x - 2| = 2;$

3) $\left| \left| x - 1 \right| - 3 \right| = 2;$

4) $\left|x^2 - 9\right| + \left|x^2 - 4\right| = 5;$

5) $x^2 + 3x + \frac{6}{2 - 3x - x^2} = 1;$

6) $\frac{1}{x^2 + 6x + 5} + \frac{18}{x^2 + 6x + 10} = \frac{18}{x^2 + 6x + 9};$

7) $x^2 + \frac{1}{x^2} - 5x - \frac{5}{x} + 8 = 0;$

8) $x(x^2 - 1)(x + 2) + 1 = 0.$

Решение 4.

1) $x^2 - 2|x-1| = 2$

Решение уравнения с модулем требует рассмотрения двух случаев.

Случай 1: $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.
В этом случае $|x-1| = x-1$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - 2(x-1) = 2$
$x^2 - 2x + 2 = 2$
$x^2 - 2x = 0$
$x(x-2) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.
Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \ge 1$, поэтому является посторонним. Корень $x_2=2$ удовлетворяет условию.

Случай 2: $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$.
В этом случае $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - 2(1-x) = 2$
$x^2 - 2 + 2x = 2$
$x^2 + 2x - 4 = 0$
Решаем квадратное уравнение по формуле корней:
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$.
$x_3 = -1 + \sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} \approx 2.24$, то $x_3 \approx 1.24$, что не удовлетворяет условию $x < 1$.
$x_4 = -1 - \sqrt{5}$. Этот корень удовлетворяет условию $x < 1$.

Ответ: $x = 2, x = -1 - \sqrt{5}$.

2) $(x+1)|x-2| = 2$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.
$|x-2| = x-2$. Уравнение принимает вид:
$(x+1)(x-2) = 2$
$x^2 - x - 2 = 2$
$x^2 - x - 4 = 0$
$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1+16}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$.
Корень $x_1 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$. Так как $\sqrt{17} \approx 4.12$, $x_1 \approx 2.56$, что удовлетворяет условию $x \ge 2$.
Корень $x_2 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$ является отрицательным и не удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Случай 2: $x - 2 < 0$, то есть $x < 2$.
$|x-2| = -(x-2) = 2-x$. Уравнение принимает вид:
$(x+1)(2-x) = 2$
$-x^2 + x + 2 = 2$
$-x^2 + x = 0$
$x(1-x) = 0$
Корни: $x_3 = 0$, $x_4 = 1$. Оба корня удовлетворяют условию $x < 2$.

Ответ: $x = 0, x = 1, x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$.

3) $||x-1|-3| = 2$

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений.

1) $|x-1|-3 = 2 \implies |x-1| = 5$.
Это уравнение, в свою очередь, распадается на два:
$x-1 = 5 \implies x_1 = 6$.
$x-1 = -5 \implies x_2 = -4$.

2) $|x-1|-3 = -2 \implies |x-1| = 1$.
Это уравнение также распадается на два:
$x-1 = 1 \implies x_3 = 2$.
$x-1 = -1 \implies x_4 = 0$.

Ответ: $x = -4, x = 0, x = 2, x = 6$.

4) $|x^2-9| + |x^2-4| = 5$

Заметим, что $5 = |(x^2-4) - (x^2-9)|$. Уравнение имеет вид $|a|+|b|=|a-b|$, где $a=x^2-4$ и $b=x^2-9$.
Тождество $|a|+|b|=|a-b|$ выполняется тогда и только тогда, когда $a \cdot b \le 0$.
Следовательно, исходное уравнение равносильно неравенству:
$(x^2-4)(x^2-9) \le 0$
$(x-2)(x+2)(x-3)(x+3) \le 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Корни многочлена: -3, -2, 2, 3.
На числовой оси эти точки разбивают её на интервалы. Выражение в левой части неравенства неположительно на отрезках между корнями.
$x \in [-3, -2] \cup [2, 3]$.

Ответ: $x \in [-3, -2] \cup [2, 3]$.

5) $x^2 + 3x + \frac{6}{2 - 3x - x^2} = 1$

Область допустимых значений (ОДЗ): $2 - 3x - x^2 \neq 0$, или $x^2 + 3x - 2 \neq 0$.
Преобразуем уравнение:
$x^2 + 3x - \frac{6}{x^2 + 3x - 2} = 1$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2 + 3x$. Тогда уравнение примет вид:
$y - \frac{6}{y-2} = 1$
При условии $y-2 \neq 0$ (что соответствует ОДЗ), умножим обе части на $y-2$:
$y(y-2) - 6 = 1(y-2)$
$y^2 - 2y - 6 = y - 2$
$y^2 - 3y - 4 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения $y_1=4$ и $y_2=-1$. Оба корня удовлетворяют условию $y \neq 2$.

Вернемся к исходной переменной $x$.
1) $x^2 + 3x = 4 \implies x^2 + 3x - 4 = 0 \implies (x+4)(x-1) = 0$. Корни $x_1 = -4, x_2 = 1$.
2) $x^2 + 3x = -1 \implies x^2 + 3x + 1 = 0$. Корни $x_{3,4} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2-4(1)(1)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Все найденные корни не обращают в ноль знаменатель $x^2+3x-2$.

Ответ: $x = -4, x = 1, x = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, x = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$.

6) $\frac{1}{x^2+6x+5} + \frac{18}{x^2+6x+10} = \frac{18}{x^2+6x+9}$

ОДЗ: $x^2+6x+5 \neq 0$, $x^2+6x+10 \neq 0$, $x^2+6x+9 \neq 0$.
Пусть $y = x^2+6x$. Уравнение примет вид:
$\frac{1}{y+5} + \frac{18}{y+10} = \frac{18}{y+9}$
Перенесем слагаемые:
$\frac{1}{y+5} = \frac{18}{y+9} - \frac{18}{y+10}$
$\frac{1}{y+5} = 18 \left( \frac{y+10 - (y+9)}{(y+9)(y+10)} \right)$
$\frac{1}{y+5} = \frac{18}{(y+9)(y+10)}$
При условии, что знаменатели не равны нулю, можем использовать перекрестное умножение:
$(y+9)(y+10) = 18(y+5)$
$y^2 + 19y + 90 = 18y + 90$
$y^2 + y = 0$
$y(y+1) = 0$
Корни $y_1 = 0$ и $y_2 = -1$.

Возвращаемся к переменной $x$.
1) $x^2+6x = 0 \implies x(x+6) = 0$. Корни $x_1 = 0, x_2 = -6$.
2) $x^2+6x = -1 \implies x^2+6x+1 = 0$. Корни $x_{3,4} = \frac{-6 \pm \sqrt{36-4}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{32}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{2}$.
Проверка по ОДЗ: $x \neq -1, -5, -3$. Найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = 0, x = -6, x = -3 + 2\sqrt{2}, x = -3 - 2\sqrt{2}$.

7) $x^2 + \frac{1}{x^2} - 5x - \frac{5}{x} + 8 = 0$

ОДЗ: $x \neq 0$.
Сгруппируем слагаемые:
$\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 5\left(x + \frac{1}{x}\right) + 8 = 0$
Это возвратное уравнение. Сделаем замену $y = x + \frac{1}{x}$.
Тогда $y^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.
Подставим в уравнение:
$(y^2 - 2) - 5y + 8 = 0$
$y^2 - 5y + 6 = 0$
$(y-2)(y-3) = 0$
Корни $y_1 = 2, y_2 = 3$.

Вернемся к переменной $x$.
1) $x + \frac{1}{x} = 2 \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x_1 = 1$.
2) $x + \frac{1}{x} = 3 \implies x^2 - 3x + 1 = 0 \implies x_{2,3} = \frac{3 \pm \sqrt{9-4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Все корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = 1, x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.

8) $x(x^2-1)(x+2)+1=0$

Раскроем скобки и перегруппируем множители:
$x(x-1)(x+1)(x+2)+1=0$
Сгруппируем множители так, чтобы получить одинаковые выражения: $[x(x+1)][(x-1)(x+2)]+1=0$.
$(x^2+x)(x^2+x-2)+1=0$
Сделаем замену $y = x^2+x$.
$y(y-2)+1=0$
$y^2-2y+1=0$
$(y-1)^2=0$
$y=1$.

Вернемся к переменной $x$:
$x^2+x = 1$
$x^2+x-1 = 0$
Решаем квадратное уравнение:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, x = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.