Номер 818, страница 275 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 818, страница 275.

Условие.

818. Решить систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^2 + xy = 10 \\ y^2 + xy = 15 \end{cases} $

2) $ \begin{cases} (x - 1)(y - 1) = 6 \\ (x + 2)(y + 2) = 30 \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x + y + xy = 11 \\ x^2 + y^2 + xy = 19 \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 18 \\ x^2 - y^2 + x - y = 6 \end{cases} $

5) $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2} \\ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = \frac{5}{4} \end{cases} $

6) $ \begin{cases} x^4 + y^4 = 17(x + y)^2 \\ xy = 2(x + y) \end{cases} $

7) $ \begin{cases} 2y^2 - 4xy + 3x^2 = 17 \\ y^2 - x^2 = 16 \end{cases} $

8) $ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 21 \\ y^2 - 2xy + 15 = 0 \end{cases} $

Решение 4.

1)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^2 + xy = 10 \\ y^2 + xy = 15 \end{cases}$

Вынесем общие множители в каждом уравнении:
$\begin{cases} x(x+y) = 10 \\ y(x+y) = 15 \end{cases}$

Заметим, что $x+y \neq 0$, иначе левые части уравнений были бы равны нулю. Разделим второе уравнение на первое:
$\frac{y(x+y)}{x(x+y)} = \frac{15}{10}$
$\frac{y}{x} = \frac{3}{2}$, откуда $y = \frac{3}{2}x$.

Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы:
$x^2 + x(\frac{3}{2}x) = 10$
$x^2 + \frac{3}{2}x^2 = 10$
$\frac{5}{2}x^2 = 10$
$x^2 = 4$, откуда $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = \frac{3}{2} \cdot (-2) = -3$.

Получаем две пары решений: $(2, 3)$ и $(-2, -3)$.

Ответ: $(2, 3)$, $(-2, -3)$.

2)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} (x-1)(y-1) = 6 \\ (x+2)(y+2) = 30 \end{cases}$

Раскроем скобки в обоих уравнениях:
$\begin{cases} xy - x - y + 1 = 6 \\ xy + 2x + 2y + 4 = 30 \end{cases}$
$\begin{cases} xy - (x+y) = 5 \\ xy + 2(x+y) = 26 \end{cases}$

Сделаем замену переменных. Пусть $u = x+y$ и $v = xy$. Система примет вид:
$\begin{cases} v - u = 5 \\ v + 2u = 26 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое:
$(v + 2u) - (v - u) = 26 - 5$
$3u = 21$, откуда $u=7$.

Подставим значение $u$ в первое уравнение системы:
$v - 7 = 5$, откуда $v=12$.

Возвращаемся к исходным переменным:
$\begin{cases} x+y = 7 \\ xy = 12 \end{cases}$

По теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 7t + 12 = 0$.
Корни этого уравнения: $t_1 = 3$, $t_2 = 4$.

Следовательно, решения системы: $(3, 4)$ и $(4, 3)$.

Ответ: $(3, 4)$, $(4, 3)$.

3)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x + y + xy = 11 \\ x^2 + y^2 + xy = 19 \end{cases}$

Введем симметрические замены: $u = x+y$, $v = xy$.
Выразим $x^2+y^2$ через $u$ и $v$: $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$.

Система в новых переменных:
$\begin{cases} u + v = 11 \\ (u^2 - 2v) + v = 19 \end{cases}$
$\begin{cases} v = 11 - u \\ u^2 - v = 19 \end{cases}$

Подставим $v$ из первого уравнения во второе:
$u^2 - (11 - u) = 19$
$u^2 + u - 11 - 19 = 0$
$u^2 + u - 30 = 0$

Решая квадратное уравнение, находим корни $u_1 = 5$, $u_2 = -6$.

Рассмотрим два случая:
1. Если $u=5$, то $v = 11 - 5 = 6$. Получаем систему:
$\begin{cases} x+y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}$
По теореме Виета, $x, y$ - корни уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$. Корни $t_1=2, t_2=3$.
Решения: $(2, 3)$ и $(3, 2)$.
2. Если $u=-6$, то $v = 11 - (-6) = 17$. Получаем систему:
$\begin{cases} x+y = -6 \\ xy = 17 \end{cases}$
Соответствующее квадратное уравнение $t^2 + 6t + 17 = 0$.
Дискриминант $D = 6^2 - 4 \cdot 17 = 36 - 68 = -32 < 0$. Действительных корней нет.

Ответ: $(2, 3)$, $(3, 2)$.

4)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 18 \\ x^2 - y^2 + x - y = 6 \end{cases}$

Сложим два уравнения:
$(x^2 + y^2 + x + y) + (x^2 - y^2 + x - y) = 18 + 6$
$2x^2 + 2x = 24 \implies x^2 + x - 12 = 0$.
Корни этого уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = -4$.

Вычтем второе уравнение из первого:
$(x^2 + y^2 + x + y) - (x^2 - y^2 + x - y) = 18 - 6$
$2y^2 + 2y = 12 \implies y^2 + y - 6 = 0$.
Корни этого уравнения: $y_1 = 2$, $y_2 = -3$.

Нужно проверить все возможные комбинации найденных значений $x$ и $y$.
Подставим $x=3$ в исходную систему. Оба уравнения приводятся к виду $y^2+y-6=0$, корнями которого являются $y=2$ и $y=-3$. Значит, пары $(3, 2)$ и $(3, -3)$ являются решениями.
Подставим $x=-4$ в исходную систему. Оба уравнения также приводятся к виду $y^2+y-6=0$, что дает $y=2$ и $y=-3$. Значит, пары $(-4, 2)$ и $(-4, -3)$ также являются решениями.

Ответ: $(3, 2)$, $(3, -3)$, $(-4, 2)$, $(-4, -3)$.

5)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2} \\ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = \frac{5}{4} \end{cases}$

Сделаем замену: $a = \frac{1}{x}$, $b = \frac{1}{y}$. Система примет вид:
$\begin{cases} a + b = \frac{3}{2} \\ a^2 + b^2 = \frac{5}{4} \end{cases}$

Возведем первое уравнение в квадрат: $(a+b)^2 = (\frac{3}{2})^2 \implies a^2 + 2ab + b^2 = \frac{9}{4}$.
Мы знаем, что $a^2+b^2 = \frac{5}{4}$, поэтому:
$\frac{5}{4} + 2ab = \frac{9}{4}$
$2ab = \frac{9}{4} - \frac{5}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$ab = \frac{1}{2}$.

Теперь решаем систему:
$\begin{cases} a + b = \frac{3}{2} \\ ab = \frac{1}{2} \end{cases}$

$a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - \frac{3}{2}t + \frac{1}{2} = 0$, или $2t^2 - 3t + 1 = 0$.
Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = \frac{1}{2}$.

Возвращаемся к переменным $x, y$:
1. $a=1, b=\frac{1}{2} \implies \frac{1}{x}=1, \frac{1}{y}=\frac{1}{2} \implies x=1, y=2$.
2. $a=\frac{1}{2}, b=1 \implies \frac{1}{x}=\frac{1}{2}, \frac{1}{y}=1 \implies x=2, y=1$.

Ответ: $(1, 2)$, $(2, 1)$.

6)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^4 + y^4 = 17(x+y)^2 \\ xy = 2(x+y) \end{cases}$

Введем замены $S = x+y$, $P = xy$. Система примет вид:
$\begin{cases} x^4 + y^4 = 17S^2 \\ P = 2S \end{cases}$

Выразим $x^4+y^4$ через $S$ и $P$:
$x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy = S^2-2P$
$x^4+y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2 = (S^2-2P)^2 - 2P^2$

Подставим это в первое уравнение: $(S^2-2P)^2 - 2P^2 = 17S^2$.
Теперь подставим $P=2S$:
$(S^2 - 2(2S))^2 - 2(2S)^2 = 17S^2$
$(S^2 - 4S)^2 - 8S^2 = 17S^2$
$(S^2 - 4S)^2 = 25S^2$

Извлекаем квадратный корень: $S^2-4S = 5S$ или $S^2-4S = -5S$.
1. $S^2-9S=0 \implies S(S-9)=0 \implies S=0$ или $S=9$.
2. $S^2+S=0 \implies S(S+1)=0 \implies S=0$ или $S=-1$.

Рассмотрим три случая для $S$:
• $S=0$: $x+y=0, P=xy=0$. Отсюда $x=0, y=0$. Решение $(0,0)$.
• $S=9$: $x+y=9, P=xy=18$. Корни уравнения $t^2-9t+18=0$ - это $t_1=3, t_2=6$. Решения $(3,6)$ и $(6,3)$.
• $S=-1$: $x+y=-1, P=xy=-2$. Корни уравнения $t^2+t-2=0$ - это $t_1=1, t_2=-2$. Решения $(1,-2)$ и $(-2,1)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(3, 6)$, $(6, 3)$, $(1, -2)$, $(-2, 1)$.

7)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 2y^2 - 4xy + 3x^2 = 17 \\ y^2 - x^2 = 16 \end{cases}$

Это однородная система. Умножим второе уравнение на 17, а первое на 16, чтобы избавиться от свободных членов:
$16(2y^2 - 4xy + 3x^2) = 17(y^2 - x^2)$
$32y^2 - 64xy + 48x^2 = 17y^2 - 17x^2$
$15y^2 - 64xy + 65x^2 = 0$

Так как $x=0$ не является решением (иначе $y=0$, что не удовлетворяет второму уравнению), разделим на $x^2$:
$15(\frac{y}{x})^2 - 64(\frac{y}{x}) + 65 = 0$

Пусть $t = \frac{y}{x}$. Решаем квадратное уравнение $15t^2 - 64t + 65 = 0$.
$D = 64^2 - 4 \cdot 15 \cdot 65 = 4096 - 3900 = 196 = 14^2$.
$t_1 = \frac{64+14}{30} = \frac{78}{30} = \frac{13}{5}$
$t_2 = \frac{64-14}{30} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3}$

Рассмотрим два случая:
1. $y = \frac{13}{5}x$. Подставим в $y^2 - x^2 = 16$:
$(\frac{13}{5}x)^2 - x^2 = 16 \implies \frac{169}{25}x^2 - x^2 = 16 \implies \frac{144}{25}x^2=16 \implies x^2 = \frac{25}{9}$.
$x = \pm \frac{5}{3}$. Соответствующие $y = \pm \frac{13}{3}$. Решения: $(\frac{5}{3}, \frac{13}{3})$ и $(-\frac{5}{3}, -\frac{13}{3})$.
2. $y = \frac{5}{3}x$. Подставим в $y^2 - x^2 = 16$:
$(\frac{5}{3}x)^2 - x^2 = 16 \implies \frac{25}{9}x^2 - x^2 = 16 \implies \frac{16}{9}x^2=16 \implies x^2=9$.
$x = \pm 3$. Соответствующие $y = \pm 5$. Решения: $(3, 5)$ и $(-3, -5)$.

Ответ: $(3, 5)$, $(-3, -5)$, $(\frac{5}{3}, \frac{13}{3})$, $(-\frac{5}{3}, -\frac{13}{3})$.

8)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 21 \\ y^2 - 2xy + 15 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y^2 = 2xy - 15$. Подставим в первое уравнение:
$x^2 - xy + (2xy - 15) = 21$
$x^2 + xy = 36$, откуда $xy = 36 - x^2$.

Теперь подставим $xy$ во второе уравнение исходной системы:
$y^2 - 2(36-x^2) + 15 = 0$
$y^2 - 72 + 2x^2 + 15 = 0$
$y^2 + 2x^2 = 57$.

У нас новая система:
$\begin{cases} xy = 36 - x^2 \\ y^2 + 2x^2 = 57 \end{cases}$

Из первого уравнения $y = \frac{36-x^2}{x}$. Подставим во второе:
$(\frac{36-x^2}{x})^2 + 2x^2 = 57$
$\frac{1296 - 72x^2 + x^4}{x^2} + 2x^2 = 57$
$1296 - 72x^2 + x^4 + 2x^4 = 57x^2$
$3x^4 - 129x^2 + 1296 = 0$
$x^4 - 43x^2 + 432 = 0$

Пусть $z=x^2$. Уравнение $z^2 - 43z + 432 = 0$.
$D = 43^2 - 4 \cdot 432 = 1849 - 1728 = 121 = 11^2$.
$z_1 = \frac{43+11}{2} = 27$, $z_2 = \frac{43-11}{2} = 16$.

Рассмотрим два случая:
1. $x^2 = 16 \implies x=\pm 4$.
Из $x^2+xy=36$: если $x=4$, то $16+4y=36 \implies y=5$. Если $x=-4$, то $16-4y=36 \implies y=-5$.
Решения: $(4, 5)$ и $(-4, -5)$.
2. $x^2 = 27 \implies x=\pm 3\sqrt{3}$.
Из $x^2+xy=36$: если $x=3\sqrt{3}$, то $27+3\sqrt{3}y=36 \implies y=\sqrt{3}$. Если $x=-3\sqrt{3}$, то $27-3\sqrt{3}y=36 \implies y=-\sqrt{3}$.
Решения: $(3\sqrt{3}, \sqrt{3})$ и $(-3\sqrt{3}, -\sqrt{3})$.

Ответ: $(4, 5)$, $(-4, -5)$, $(3\sqrt{3}, \sqrt{3})$, $(-3\sqrt{3}, -\sqrt{3})$.