Номер 820, страница 276 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 820, страница 276.

Условие.

820. Доказать, что если $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $x^2 - rx - r = 0$, где $r > 0$, то выполняется неравенство $x_1^3 + x_2^3 + (x_1x_2)^3 > 0$.

Решение 4.

Дано квадратное уравнение $x^2 - rx - r = 0$, где $x_1$ и $x_2$ — его корни, и по условию $r > 0$.

Требуется доказать, что выполняется неравенство $x_1^3 + x_2^3 + (x_1x_2)^3 > 0$.

Сначала проверим, что данное уравнение имеет действительные корни. Для этого найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-r)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-r) = r^2 + 4r$.

Так как по условию $r > 0$, то $r^2 > 0$ и $4r > 0$. Следовательно, их сумма $D = r^2 + 4r$ также будет строго больше нуля. Это означает, что уравнение всегда имеет два различных действительных корня $x_1$ и $x_2$.

Далее воспользуемся теоремой Виета для нашего уравнения. Согласно теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ сумма корней равна $-p$, а произведение равно $q$. В нашем случае $p = -r$ и $q = -r$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-r) = r$.

Произведение корней: $x_1x_2 = -r$.

Теперь преобразуем левую часть неравенства, которое нам нужно доказать: $x_1^3 + x_2^3 + (x_1x_2)^3$.

Для преобразования суммы кубов $x_1^3 + x_2^3$ используем известную формулу тождества:

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) = (a+b)((a+b)^2 - 3ab) = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$.

Применим последнюю, более удобную формулу:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$.

Теперь мы можем подставить в это выражение найденные по теореме Виета значения для суммы и произведения корней:

$x_1 + x_2 = r$

$x_1x_2 = -r$

Получаем:

$x_1^3 + x_2^3 = (r)^3 - 3(-r)(r) = r^3 + 3r^2$.

Теперь подставим это выражение обратно в исходное неравенство, а также подставим значение для $(x_1x_2)^3$:

$(x_1x_2)^3 = (-r)^3 = -r^3$.

Левая часть неравенства приобретает вид:

$(r^3 + 3r^2) + (-r^3) = r^3 + 3r^2 - r^3 = 3r^2$.

Таким образом, исходное неравенство $x_1^3 + x_2^3 + (x_1x_2)^3 > 0$ эквивалентно неравенству $3r^2 > 0$.

По условию задачи нам дано, что $r > 0$. Если $r$ — строго положительное число, то его квадрат $r^2$ также будет строго положительным. Умножение положительного числа $r^2$ на 3 также даст строго положительный результат.

Следовательно, $3r^2 > 0$ является верным утверждением при $r > 0$.

Таким образом, мы доказали, что если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - rx - r = 0$ при $r>0$, то неравенство $x_1^3 + x_2^3 + (x_1x_2)^3 > 0$ выполняется.

Ответ: Утверждение доказано. С помощью теоремы Виета устанавливаем, что $x_1+x_2=r$ и $x_1x_2=-r$. Левая часть доказываемого неравенства $x_1^3 + x_2^3 + (x_1x_2)^3$ преобразуется с использованием формулы суммы кубов в выражение $(x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2) + (x_1x_2)^3$. После подстановки выражений через $r$ получаем $r^3 - 3(-r)(r) + (-r)^3 = r^3 + 3r^2 - r^3 = 3r^2$. Поскольку по условию $r > 0$, то $3r^2 > 0$, что и требовалось доказать.