Номер 822, страница 276 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 822, страница 276.

Условие.

822. Доказать, что если уравнение $x^2 + px + q = 0$ имеет действительные корни, то уравнение $x^2 + \left(r + \frac{1}{r}\right)px + q\left(r - \frac{1}{r}\right)^2 = 0$ также имеет действительные корни при любом $r \neq 0$.

Решение 4.

Для того чтобы доказать утверждение, нам нужно проанализировать дискриминанты обоих квадратных уравнений. Квадратное уравнение имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен ($D \ge 0$).

1. Анализ первого уравнения.

Рассмотрим первое уравнение: $x^2 + px + q = 0$.

Его дискриминант, обозначим его $D_1$, равен:

$D_1 = p^2 - 4q$

По условию задачи, это уравнение имеет действительные корни. Это означает, что его дискриминант неотрицателен:

$D_1 = p^2 - 4q \ge 0$.

Это наше основное условие, которое мы будем использовать в дальнейшем.

2. Анализ второго уравнения.

Теперь рассмотрим второе уравнение: $x^2 + (r + \frac{1}{r})px + q(r - \frac{1}{r})^2 = 0$.

Для этого уравнения коэффициенты равны:

$a' = 1$

$b' = (r + \frac{1}{r})p$

$c' = q(r - \frac{1}{r})^2$

Найдем его дискриминант, обозначим его $D_2$:

$D_2 = (b')^2 - 4a'c' = \left[\left(r + \frac{1}{r}\right)p\right]^2 - 4 \cdot 1 \cdot q\left(r - \frac{1}{r}\right)^2$

Раскроем скобки:

$D_2 = \left(r + \frac{1}{r}\right)^2 p^2 - 4q\left(r - \frac{1}{r}\right)^2$

Теперь воспользуемся алгебраическим тождеством: $(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$. В нашем случае, для $a=r$ и $b=\frac{1}{r}$, имеем:

$(r + \frac{1}{r})^2 = (r - \frac{1}{r})^2 + 4 \cdot r \cdot \frac{1}{r} = (r - \frac{1}{r})^2 + 4$

Подставим это выражение в формулу для $D_2$:

$D_2 = \left[\left(r - \frac{1}{r}\right)^2 + 4\right]p^2 - 4q\left(r - \frac{1}{r}\right)^2$

Распределим $p^2$:

$D_2 = \left(r - \frac{1}{r}\right)^2 p^2 + 4p^2 - 4q\left(r - \frac{1}{r}\right)^2$

Сгруппируем слагаемые с множителем $(r - \frac{1}{r})^2$:

$D_2 = \left(r - \frac{1}{r}\right)^2 (p^2 - 4q) + 4p^2$

3. Доказательство неотрицательности $D_2$.

Мы получили выражение для $D_2$: $D_2 = (p^2 - 4q)\left(r - \frac{1}{r}\right)^2 + 4p^2$.

Проанализируем каждое слагаемое в этой сумме:

• Первое слагаемое: $(p^2 - 4q)\left(r - \frac{1}{r}\right)^2$.
  • Из условия мы знаем, что $p^2 - 4q \ge 0$.
  • Выражение $\left(r - \frac{1}{r}\right)^2$ является квадратом действительного числа (поскольку $r \neq 0$), поэтому оно всегда неотрицательно: $\left(r - \frac{1}{r}\right)^2 \ge 0$.
  • Произведение двух неотрицательных чисел также неотрицательно: $(p^2 - 4q)\left(r - \frac{1}{r}\right)^2 \ge 0$.
• Второе слагаемое: $4p^2$.
  • $p^2$ является квадратом действительного числа, поэтому $p^2 \ge 0$.
  • Следовательно, $4p^2 \ge 0$.

Дискриминант $D_2$ является суммой двух неотрицательных слагаемых. Сумма неотрицательных чисел всегда неотрицательна. Таким образом, $D_2 \ge 0$.

Поскольку дискриминант второго уравнения $D_2$ неотрицателен при любом $r \neq 0$, это уравнение всегда имеет действительные корни.

Ответ: Утверждение доказано. Дискриминант второго уравнения $D_2 = (p^2 - 4q)(r - \frac{1}{r})^2 + 4p^2$ является суммой двух неотрицательных слагаемых, поскольку $p^2 - 4q \ge 0$ по условию, а $(r - \frac{1}{r})^2$ и $4p^2$ являются квадратами действительных чисел. Следовательно, $D_2 \ge 0$, и второе уравнение всегда имеет действительные корни.