Номер 830, страница 277 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 830, страница 277.

Условие.

830. Разложить на множители:

1) $x^3 - 6x^2 - x + 30;$

2) $(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 12;$

3) $x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6;$

4) $(x^2 + 4x + 8)^2 + 3x(x^2 + 4x + 8) + 2x^2.$

Решение 4.

1) $x^3 - 6x^2 - x + 30$

Для разложения на множители многочлена третьей степени найдем один из его корней. Воспользуемся теоремой о рациональных корнях: если у многочлена есть целые корни, то они являются делителями свободного члена (числа 30). Делители числа 30: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm5, \pm6, \pm10, \pm15, \pm30$.

Проверим некоторые из них, подставляя в многочлен $P(x) = x^3 - 6x^2 - x + 30$:

$P(1) = 1^3 - 6(1)^2 - 1 + 30 = 1 - 6 - 1 + 30 = 24 \neq 0$

$P(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 - (-1) + 30 = -1 - 6 + 1 + 30 = 24 \neq 0$

$P(2) = 2^3 - 6(2)^2 - 2 + 30 = 8 - 24 - 2 + 30 = 12 \neq 0$

$P(-2) = (-2)^3 - 6(-2)^2 - (-2) + 30 = -8 - 24 + 2 + 30 = 0$

Поскольку $P(-2) = 0$, то $x = -2$ является корнем многочлена, а $(x + 2)$ — одним из его множителей. Чтобы найти остальные множители, разделим исходный многочлен на $(x + 2)$ столбиком или сгруппируем слагаемые:

$x^3 - 6x^2 - x + 30 = x^3 + 2x^2 - 8x^2 - 16x + 15x + 30$

$= x^2(x + 2) - 8x(x + 2) + 15(x + 2) = (x + 2)(x^2 - 8x + 15)$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 8x + 15$. Найдем два числа, произведение которых равно 15, а сумма равна -8. Это числа -3 и -5. Таким образом:

$x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5)$

Окончательное разложение исходного многочлена:

$(x + 2)(x - 3)(x - 5)$

Ответ: $(x + 2)(x - 3)(x - 5)$

2) $(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 12$

В данном выражении повторяется часть $x^2 + x$. Сделаем замену переменной, чтобы упростить выражение. Пусть $t = x^2 + x$.

Тогда выражение примет вид:

$(t + 1)(t + 2) - 12$

Раскроем скобки и упростим:

$t^2 + 2t + t + 2 - 12 = t^2 + 3t - 10$

Разложим полученный квадратный трехчлен на множители. Найдем два числа, произведение которых равно -10, а сумма равна 3. Это числа 5 и -2. Таким образом:

$t^2 + 3t - 10 = (t + 5)(t - 2)$

Теперь выполним обратную замену $t = x^2 + x$:

$(x^2 + x + 5)(x^2 + x - 2)$

Проверим, можно ли разложить на множители полученные квадратные трехчлены.

Для $x^2 + x + 5$: дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 1 - 20 = -19$. Так как $D < 0$, этот трехчлен не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами.

Для $x^2 + x - 2$: найдем два числа, произведение которых равно -2, а сумма равна 1. Это числа 2 и -1. Таким образом:

$x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$

Окончательное разложение исходного выражения:

$(x^2 + x + 5)(x + 2)(x - 1)$

Ответ: $(x + 2)(x - 1)(x^2 + x + 5)$

3) $x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$

Для разложения на множители многочлена четвертой степени найдем его целые корни. Они должны быть делителями свободного члена (числа 6): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Проверим некоторые из них, подставляя в многочлен $P(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$:

$P(1) = 1^4 - 1^3 - 7(1)^2 + 1 + 6 = 1 - 1 - 7 + 1 + 6 = 0$

$P(-1) = (-1)^4 - (-1)^3 - 7(-1)^2 + (-1) + 6 = 1 - (-1) - 7 - 1 + 6 = 1 + 1 - 7 - 1 + 6 = 0$

Мы нашли два корня: $x=1$ и $x=-1$. Это означает, что многочлен делится на $(x - 1)$ и $(x + 1)$, а значит, и на их произведение $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$. Выполним деление многочлена $x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$ на $x^2 - 1$ столбиком.

$(x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6) : (x^2 - 1) = x^2 - x - 6$

Таким образом, исходный многочлен можно представить в виде:

$(x^2 - 1)(x^2 - x - 6)$

Теперь разложим на множители каждый из квадратных трехчленов:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ (как разность квадратов).

Для $x^2 - x - 6$ найдем два числа, произведение которых равно -6, а сумма -1. Это числа -3 и 2. Таким образом:

$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$

Окончательное разложение исходного многочлена:

$(x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 2)$

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x + 2)(x - 3)$

4) $(x^2 + 4x + 8)^2 + 3x(x^2 + 4x + 8) + 2x^2$

Это выражение является квадратным относительно $(x^2 + 4x + 8)$. Сделаем замену, чтобы упростить его. Пусть $t = x^2 + 4x + 8$.

Тогда выражение примет вид:

$t^2 + 3xt + 2x^2$

Разложим это выражение на множители как квадратный трехчлен относительно переменной $t$. Мы ищем два одночлена, произведение которых равно $2x^2$, а сумма равна $3x$. Это $2x$ и $x$.

Таким образом, выражение раскладывается как:

$(t + 2x)(t + x)$

Теперь выполним обратную замену $t = x^2 + 4x + 8$:

$(x^2 + 4x + 8 + 2x)(x^2 + 4x + 8 + x)$

Приведем подобные слагаемые в каждой из скобок:

$(x^2 + 6x + 8)(x^2 + 5x + 8)$

Проверим, можно ли разложить на множители полученные квадратные трехчлены.

Для $x^2 + 6x + 8$: найдем два числа, произведение которых равно 8, а сумма равна 6. Это числа 2 и 4. Таким образом:

$x^2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)$

Для $x^2 + 5x + 8$: дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 - 32 = -7$. Так как $D < 0$, этот трехчлен не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами.

Окончательное разложение исходного выражения:

$(x + 2)(x + 4)(x^2 + 5x + 8)$

Ответ: $(x + 2)(x + 4)(x^2 + 5x + 8)$