Номер 832, страница 277 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 832, страница 277.

Условие.

832. Сократить дробь:

1) $\frac{x^6 + x^4 - x^2 - 1}{x^3 + x^2 + x + 1}$;

2) $\frac{x^3 + x^2 - 4x - 4}{x^3 - 3x - 2}$;

3) $\frac{x^4 - 2x^3 + x - 2}{x^3 - 3x^2 + 3x - 2}$;

4) $\frac{x^3 + 5x^2 + 7x + 3}{2x^3 + 5x^2 + 4x + 1}$;

5) $\frac{x^4 - 16}{x^4 - 4x^3 + 8x^2 - 16x + 16}$.

Решение 4.

1) $\frac{x^6 + x^4 - x^2 - 1}{x^3 + x^2 + x + 1}$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^6 + x^4 - x^2 - 1 = x^4(x^2 + 1) - (x^2 + 1) = (x^4 - 1)(x^2 + 1)$.
Применим формулу разности квадратов для $x^4 - 1$: $(x^2 - 1)(x^2 + 1)$.
Тогда числитель равен $(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^2 + 1) = (x^2-1)(x^2+1)^2$.
Разложим $x^2-1$ как $(x-1)(x+1)$.
Итоговый вид числителя: $(x-1)(x+1)(x^2+1)^2$.

Знаменатель: $x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x + 1) + 1(x + 1) = (x^2 + 1)(x + 1)$.

Теперь сократим дробь:

$\frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)^2}{(x^2 + 1)(x + 1)} = (x-1)(x^2+1) = x^3 - x^2 + x - 1$.

Ответ: $x^3 - x^2 + x - 1$.

2) $\frac{x^3 + x^2 - 4x - 4}{x^3 - 3x - 2}$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^3 + x^2 - 4x - 4 = x^2(x + 1) - 4(x + 1) = (x^2 - 4)(x + 1) = (x - 2)(x + 2)(x + 1)$.

Знаменатель: $P(x) = x^3 - 3x - 2$.
Найдем корни многочлена, проверив делители свободного члена (-2): $\pm 1, \pm 2$.
$P(-1) = (-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$. Значит, $(x+1)$ является множителем.
$P(2) = 2^3 - 3(2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0$. Значит, $(x-2)$ является множителем.
Разделим многочлен на $(x+1)$:
$(x^3 - 3x - 2) : (x+1) = x^2 - x - 2$.
Теперь разложим квадратный трехчлен $x^2 - x - 2$. Его корни $x_1=2, x_2=-1$, поэтому $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$.
Итоговый вид знаменателя: $(x + 1)(x - 2)(x + 1) = (x + 1)^2(x - 2)$.

Теперь сократим дробь:

$\frac{(x - 2)(x + 2)(x + 1)}{(x + 1)^2(x - 2)} = \frac{x + 2}{x + 1}$.

Ответ: $\frac{x+2}{x+1}$.

3) $\frac{x^4 - 2x^3 + x - 2}{x^3 - 3x^2 + 3x - 2}$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^4 - 2x^3 + x - 2 = x^3(x - 2) + 1(x - 2) = (x^3 + 1)(x - 2)$.
Используя формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, получаем:
$(x + 1)(x^2 - x + 1)(x - 2)$.

Знаменатель: $P(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 2$.
Найдем корни многочлена, проверив делители свободного члена (-2): $\pm 1, \pm 2$.
$P(2) = 2^3 - 3(2^2) + 3(2) - 2 = 8 - 12 + 6 - 2 = 0$. Значит, $(x-2)$ является множителем.
Разделим многочлен на $(x-2)$:
$(x^3 - 3x^2 + 3x - 2) : (x - 2) = x^2 - x + 1$.
Итоговый вид знаменателя: $(x - 2)(x^2 - x + 1)$.

Теперь сократим дробь:

$\frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)(x - 2)}{(x - 2)(x^2 - x + 1)} = x + 1$.

Ответ: $x+1$.

4) $\frac{x^3 + 5x^2 + 7x + 3}{2x^3 + 5x^2 + 4x + 1}$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $P(x) = x^3 + 5x^2 + 7x + 3$.
Найдем корни, проверив делители свободного члена (3): $\pm 1, \pm 3$.
$P(-1) = (-1)^3 + 5(-1)^2 + 7(-1) + 3 = -1 + 5 - 7 + 3 = 0$. Значит, $(x+1)$ является множителем.
Разделим многочлен на $(x+1)$: $(x^3 + 5x^2 + 7x + 3) : (x+1) = x^2 + 4x + 3$.
Разложим $x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3)$.
Итоговый вид числителя: $(x+1)(x+1)(x+3) = (x+1)^2(x+3)$.

Знаменатель: $Q(x) = 2x^3 + 5x^2 + 4x + 1$.
Проверим возможные рациональные корни $\pm 1, \pm 1/2$.
$Q(-1) = 2(-1)^3 + 5(-1)^2 + 4(-1) + 1 = -2 + 5 - 4 + 1 = 0$. Значит, $(x+1)$ является множителем.
Разделим многочлен на $(x+1)$: $(2x^3 + 5x^2 + 4x + 1) : (x+1) = 2x^2 + 3x + 1$.
Разложим $2x^2 + 3x + 1$. Корни уравнения $2x^2 + 3x + 1 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = -1/2$.
Следовательно, $2x^2 + 3x + 1 = 2(x+1)(x+1/2) = (x+1)(2x+1)$.
Итоговый вид знаменателя: $(x+1)(x+1)(2x+1) = (x+1)^2(2x+1)$.

Теперь сократим дробь:

$\frac{(x+1)^2(x+3)}{(x+1)^2(2x+1)} = \frac{x+3}{2x+1}$.

Ответ: $\frac{x+3}{2x+1}$.

5) $\frac{x^4 - 16}{x^4 - 4x^3 + 8x^2 - 16x + 16}$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^4 - 16$ — это разность квадратов.
$x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$.

Знаменатель: $x^4 - 4x^3 + 8x^2 - 16x + 16$.
Сгруппируем слагаемые: $(x^4 + 8x^2 + 16) - (4x^3 + 16x)$.
Первая группа является полным квадратом: $(x^2 + 4)^2$.
Во второй группе вынесем общий множитель $-4x$: $-4x(x^2 + 4)$.
Получим выражение: $(x^2 + 4)^2 - 4x(x^2 + 4)$.
Вынесем общий множитель $(x^2 + 4)$: $(x^2 + 4)(x^2 + 4 - 4x) = (x^2 + 4)(x^2 - 4x + 4)$.
Второй множитель, $x^2 - 4x + 4$, является полным квадратом: $(x - 2)^2$.
Итоговый вид знаменателя: $(x^2 + 4)(x - 2)^2$.

Теперь сократим дробь:

$\frac{(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)}{(x^2 + 4)(x - 2)^2} = \frac{x + 2}{x - 2}$.

Ответ: $\frac{x+2}{x-2}$.