Номер 833, страница 277 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 833, страница 277.

Условие.

833. Доказать, что для любых чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство:

1) $a^2 + b^2 \ge 2(a+b-1);$

2) $2a^2 + 5b^2 \ge 2ab;$

3) $a^2 + b^2 \ge ab + a + b - 1;$

4) $a^2 + ab + b^2 \ge 0;$

5) $a^4 + b^4 \ge a^3b + ab^3;$

6) $(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) \ge (a^3 + b^3)^2.$

Решение 4.

1) Докажем неравенство $a^2 + b^2 \ge 2(a + b - 1)$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть и раскроем скобки:

$a^2 + b^2 - 2a - 2b + 2 \ge 0$

Сгруппируем слагаемые для выделения полных квадратов:

$(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) \ge 0$

Это выражение можно записать в виде суммы квадратов:

$(a - 1)^2 + (b - 1)^2 \ge 0$

Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то $(a - 1)^2 \ge 0$ и $(b - 1)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна. Следовательно, исходное неравенство справедливо для любых чисел $a$ и $b$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Докажем неравенство $2a^2 + 5b^2 \ge 2ab$.

Перенесем член $2ab$ в левую часть:

$2a^2 - 2ab + 5b^2 \ge 0$

Преобразуем левую часть, выделив полный квадрат относительно переменной $a$:

$2(a^2 - ab) + 5b^2 \ge 0$

$2(a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + (\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2) + 5b^2 \ge 0$

$2((a - \frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{4}) + 5b^2 \ge 0$

$2(a - \frac{b}{2})^2 - \frac{2b^2}{4} + 5b^2 \ge 0$

$2(a - \frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{2} + 5b^2 \ge 0$

$2(a - \frac{b}{2})^2 + \frac{9}{2}b^2 \ge 0$

Полученное выражение является суммой двух слагаемых. Первое слагаемое $2(a - \frac{b}{2})^2 \ge 0$ как квадрат, умноженный на положительное число. Второе слагаемое $\frac{9}{2}b^2 \ge 0$ также как квадрат, умноженный на положительное число. Сумма неотрицательных слагаемых неотрицательна. Значит, неравенство доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3) Докажем неравенство $a^2 + b^2 \ge ab + a + b - 1$.

Перенесем все члены в левую часть:

$a^2 + b^2 - ab - a - b + 1 \ge 0$

Умножим обе части неравенства на 2 (знак неравенства не изменится):

$2a^2 + 2b^2 - 2ab - 2a - 2b + 2 \ge 0$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты:

$(a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) \ge 0$

Это выражение можно записать как сумму трех квадратов:

$(a - b)^2 + (a - 1)^2 + (b - 1)^2 \ge 0$

Каждое из слагаемых в левой части неотрицательно, так как является квадратом действительного числа. Их сумма также неотрицательна. Неравенство справедливо.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4) Докажем неравенство $a^2 + ab + b^2 \ge 0$.

Выделим в левой части полный квадрат относительно переменной $a$:

$a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + (\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2 + b^2 \ge 0$

$(a + \frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{4} + b^2 \ge 0$

$(a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2 \ge 0$

Левая часть представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых: $(a + \frac{b}{2})^2 \ge 0$ и $\frac{3}{4}b^2 \ge 0$. Их сумма всегда неотрицательна. Неравенство доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

5) Докажем неравенство $a^4 + b^4 \ge a^3b + ab^3$.

Перенесем все члены в левую часть:

$a^4 + b^4 - a^3b - ab^3 \ge 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(a^4 - a^3b) + (b^4 - ab^3) \ge 0$

$a^3(a - b) - b^3(a - b) \ge 0$

Вынесем общий множитель $(a-b)$:

$(a - b)(a^3 - b^3) \ge 0$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$(a - b)(a - b)(a^2 + ab + b^2) \ge 0$

$(a - b)^2(a^2 + ab + b^2) \ge 0$

Рассмотрим множители в левой части. Первый множитель $(a-b)^2 \ge 0$, так как это квадрат действительного числа. Второй множитель $a^2 + ab + b^2 \ge 0$, что было доказано в пункте 4. Произведение двух неотрицательных чисел также неотрицательно. Таким образом, неравенство верно.

Ответ: Что и требовалось доказать.

6) Докажем неравенство $(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) \ge (a^3 + b^3)^2$.

Раскроем скобки в обеих частях неравенства.

Левая часть: $(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) = a^6 + a^2b^4 + a^4b^2 + b^6$.

Правая часть: $(a^3 + b^3)^2 = (a^3)^2 + 2a^3b^3 + (b^3)^2 = a^6 + 2a^3b^3 + b^6$.

Подставим раскрытые выражения в исходное неравенство:

$a^6 + a^2b^4 + a^4b^2 + b^6 \ge a^6 + 2a^3b^3 + b^6$

Вычтем из обеих частей $a^6 + b^6$:

$a^2b^4 + a^4b^2 \ge 2a^3b^3$

Перенесем все в левую часть:

$a^4b^2 - 2a^3b^3 + a^2b^4 \ge 0$

Вынесем общий множитель $a^2b^2$ за скобки:

$a^2b^2(a^2 - 2ab + b^2) \ge 0$

Выражение в скобках является полным квадратом разности:

$a^2b^2(a - b)^2 \ge 0$

Левая часть представляет собой произведение двух множителей: $a^2b^2 = (ab)^2 \ge 0$ и $(a - b)^2 \ge 0$. Произведение двух неотрицательных чисел неотрицательно. Неравенство доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.