Страница 277 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

830. Разложить на множители:

1) $x^3 - 6x^2 - x + 30;$

2) $(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 12;$

3) $x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6;$

4) $(x^2 + 4x + 8)^2 + 3x(x^2 + 4x + 8) + 2x^2.$

1) $x^3 - 6x^2 - x + 30$

Для разложения на множители многочлена третьей степени найдем один из его корней. Воспользуемся теоремой о рациональных корнях: если у многочлена есть целые корни, то они являются делителями свободного члена (числа 30). Делители числа 30: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm5, \pm6, \pm10, \pm15, \pm30$.

Проверим некоторые из них, подставляя в многочлен $P(x) = x^3 - 6x^2 - x + 30$:

$P(1) = 1^3 - 6(1)^2 - 1 + 30 = 1 - 6 - 1 + 30 = 24 \neq 0$

$P(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 - (-1) + 30 = -1 - 6 + 1 + 30 = 24 \neq 0$

$P(2) = 2^3 - 6(2)^2 - 2 + 30 = 8 - 24 - 2 + 30 = 12 \neq 0$

$P(-2) = (-2)^3 - 6(-2)^2 - (-2) + 30 = -8 - 24 + 2 + 30 = 0$

Поскольку $P(-2) = 0$, то $x = -2$ является корнем многочлена, а $(x + 2)$ — одним из его множителей. Чтобы найти остальные множители, разделим исходный многочлен на $(x + 2)$ столбиком или сгруппируем слагаемые:

$x^3 - 6x^2 - x + 30 = x^3 + 2x^2 - 8x^2 - 16x + 15x + 30$

$= x^2(x + 2) - 8x(x + 2) + 15(x + 2) = (x + 2)(x^2 - 8x + 15)$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 8x + 15$. Найдем два числа, произведение которых равно 15, а сумма равна -8. Это числа -3 и -5. Таким образом:

$x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5)$

Окончательное разложение исходного многочлена:

$(x + 2)(x - 3)(x - 5)$

Ответ: $(x + 2)(x - 3)(x - 5)$

2) $(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 12$

В данном выражении повторяется часть $x^2 + x$. Сделаем замену переменной, чтобы упростить выражение. Пусть $t = x^2 + x$.

Тогда выражение примет вид:

$(t + 1)(t + 2) - 12$

Раскроем скобки и упростим:

$t^2 + 2t + t + 2 - 12 = t^2 + 3t - 10$

Разложим полученный квадратный трехчлен на множители. Найдем два числа, произведение которых равно -10, а сумма равна 3. Это числа 5 и -2. Таким образом:

$t^2 + 3t - 10 = (t + 5)(t - 2)$

Теперь выполним обратную замену $t = x^2 + x$:

$(x^2 + x + 5)(x^2 + x - 2)$

Проверим, можно ли разложить на множители полученные квадратные трехчлены.

Для $x^2 + x + 5$: дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 1 - 20 = -19$. Так как $D < 0$, этот трехчлен не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами.

Для $x^2 + x - 2$: найдем два числа, произведение которых равно -2, а сумма равна 1. Это числа 2 и -1. Таким образом:

$x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$

Окончательное разложение исходного выражения:

$(x^2 + x + 5)(x + 2)(x - 1)$

Ответ: $(x + 2)(x - 1)(x^2 + x + 5)$

3) $x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$

Для разложения на множители многочлена четвертой степени найдем его целые корни. Они должны быть делителями свободного члена (числа 6): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Проверим некоторые из них, подставляя в многочлен $P(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$:

$P(1) = 1^4 - 1^3 - 7(1)^2 + 1 + 6 = 1 - 1 - 7 + 1 + 6 = 0$

$P(-1) = (-1)^4 - (-1)^3 - 7(-1)^2 + (-1) + 6 = 1 - (-1) - 7 - 1 + 6 = 1 + 1 - 7 - 1 + 6 = 0$

Мы нашли два корня: $x=1$ и $x=-1$. Это означает, что многочлен делится на $(x - 1)$ и $(x + 1)$, а значит, и на их произведение $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$. Выполним деление многочлена $x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$ на $x^2 - 1$ столбиком.

$(x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6) : (x^2 - 1) = x^2 - x - 6$

Таким образом, исходный многочлен можно представить в виде:

$(x^2 - 1)(x^2 - x - 6)$

Теперь разложим на множители каждый из квадратных трехчленов:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ (как разность квадратов).

Для $x^2 - x - 6$ найдем два числа, произведение которых равно -6, а сумма -1. Это числа -3 и 2. Таким образом:

$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$

Окончательное разложение исходного многочлена:

$(x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 2)$

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x + 2)(x - 3)$

4) $(x^2 + 4x + 8)^2 + 3x(x^2 + 4x + 8) + 2x^2$

Это выражение является квадратным относительно $(x^2 + 4x + 8)$. Сделаем замену, чтобы упростить его. Пусть $t = x^2 + 4x + 8$.

Тогда выражение примет вид:

$t^2 + 3xt + 2x^2$

Разложим это выражение на множители как квадратный трехчлен относительно переменной $t$. Мы ищем два одночлена, произведение которых равно $2x^2$, а сумма равна $3x$. Это $2x$ и $x$.

Таким образом, выражение раскладывается как:

$(t + 2x)(t + x)$

Теперь выполним обратную замену $t = x^2 + 4x + 8$:

$(x^2 + 4x + 8 + 2x)(x^2 + 4x + 8 + x)$

Приведем подобные слагаемые в каждой из скобок:

$(x^2 + 6x + 8)(x^2 + 5x + 8)$

Проверим, можно ли разложить на множители полученные квадратные трехчлены.

Для $x^2 + 6x + 8$: найдем два числа, произведение которых равно 8, а сумма равна 6. Это числа 2 и 4. Таким образом:

$x^2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)$

Для $x^2 + 5x + 8$: дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 - 32 = -7$. Так как $D < 0$, этот трехчлен не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами.

Окончательное разложение исходного выражения:

$(x + 2)(x + 4)(x^2 + 5x + 8)$

Ответ: $(x + 2)(x + 4)(x^2 + 5x + 8)$

831. Разложить многочлен $x^5+x+1$ на два множителя с целыми коэффициентами.

Для разложения многочлена $x^5+x+1$ на множители с целыми коэффициентами воспользуемся методом добавления и вычитания слагаемых. Этот приём поможет нам сгруппировать члены многочлена и выделить общий множитель.

Прибавим и вычтем из многочлена одночлен $x^2$. Значение выражения при этом не изменится:

$x^5+x+1 = x^5 - x^2 + x^2 + x + 1$

Теперь сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(x^5 - x^2) + (x^2 + x + 1)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x^2$:

$x^2(x^3 - 1) + (x^2 + x + 1)$

Выражение $(x^3 - 1)$ представляет собой разность кубов, которую можно разложить по формуле $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)$

Подставим полученное разложение обратно в наше выражение:

$x^2(x-1)(x^2+x+1) + (x^2+x+1)$

Теперь мы видим, что оба слагаемых, $x^2(x-1)(x^2+x+1)$ и $(x^2+x+1)$, имеют общий множитель $(x^2+x+1)$. Вынесем его за скобки:

$(x^2+x+1)[x^2(x-1)+1]$

Раскроем скобки и упростим второй множитель:

$x^2(x-1)+1 = x^3 - x^2 + 1$

В результате мы получаем искомое разложение исходного многочлена на два множителя с целыми коэффициентами:

$x^5+x+1 = (x^2+x+1)(x^3-x^2+1)$

Оба множителя имеют целые коэффициенты, что соответствует условию задачи. Можно также убедиться, что они неприводимы над полем целых чисел. Дискриминант многочлена $x^2+x+1$ равен $D=1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, поэтому у него нет действительных (а значит, и целых) корней. Многочлен $x^3-x^2+1$ не имеет целых корней (возможные корни по теореме о рациональных корнях, $\pm1$, не подходят), поэтому он также неприводим.

Ответ: $(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)$.

832. Сократить дробь:

1) $\frac{x^6 + x^4 - x^2 - 1}{x^3 + x^2 + x + 1}$;

2) $\frac{x^3 + x^2 - 4x - 4}{x^3 - 3x - 2}$;

3) $\frac{x^4 - 2x^3 + x - 2}{x^3 - 3x^2 + 3x - 2}$;

4) $\frac{x^3 + 5x^2 + 7x + 3}{2x^3 + 5x^2 + 4x + 1}$;

5) $\frac{x^4 - 16}{x^4 - 4x^3 + 8x^2 - 16x + 16}$.

1) $\frac{x^6 + x^4 - x^2 - 1}{x^3 + x^2 + x + 1}$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^6 + x^4 - x^2 - 1 = x^4(x^2 + 1) - (x^2 + 1) = (x^4 - 1)(x^2 + 1)$.
Применим формулу разности квадратов для $x^4 - 1$: $(x^2 - 1)(x^2 + 1)$.
Тогда числитель равен $(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^2 + 1) = (x^2-1)(x^2+1)^2$.
Разложим $x^2-1$ как $(x-1)(x+1)$.
Итоговый вид числителя: $(x-1)(x+1)(x^2+1)^2$.

Знаменатель: $x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x + 1) + 1(x + 1) = (x^2 + 1)(x + 1)$.

Теперь сократим дробь:

$\frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)^2}{(x^2 + 1)(x + 1)} = (x-1)(x^2+1) = x^3 - x^2 + x - 1$.

Ответ: $x^3 - x^2 + x - 1$.

2) $\frac{x^3 + x^2 - 4x - 4}{x^3 - 3x - 2}$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^3 + x^2 - 4x - 4 = x^2(x + 1) - 4(x + 1) = (x^2 - 4)(x + 1) = (x - 2)(x + 2)(x + 1)$.

Знаменатель: $P(x) = x^3 - 3x - 2$.
Найдем корни многочлена, проверив делители свободного члена (-2): $\pm 1, \pm 2$.
$P(-1) = (-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$. Значит, $(x+1)$ является множителем.
$P(2) = 2^3 - 3(2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0$. Значит, $(x-2)$ является множителем.
Разделим многочлен на $(x+1)$:
$(x^3 - 3x - 2) : (x+1) = x^2 - x - 2$.
Теперь разложим квадратный трехчлен $x^2 - x - 2$. Его корни $x_1=2, x_2=-1$, поэтому $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$.
Итоговый вид знаменателя: $(x + 1)(x - 2)(x + 1) = (x + 1)^2(x - 2)$.

Теперь сократим дробь:

$\frac{(x - 2)(x + 2)(x + 1)}{(x + 1)^2(x - 2)} = \frac{x + 2}{x + 1}$.

Ответ: $\frac{x+2}{x+1}$.

3) $\frac{x^4 - 2x^3 + x - 2}{x^3 - 3x^2 + 3x - 2}$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^4 - 2x^3 + x - 2 = x^3(x - 2) + 1(x - 2) = (x^3 + 1)(x - 2)$.
Используя формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, получаем:
$(x + 1)(x^2 - x + 1)(x - 2)$.

Знаменатель: $P(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 2$.
Найдем корни многочлена, проверив делители свободного члена (-2): $\pm 1, \pm 2$.
$P(2) = 2^3 - 3(2^2) + 3(2) - 2 = 8 - 12 + 6 - 2 = 0$. Значит, $(x-2)$ является множителем.
Разделим многочлен на $(x-2)$:
$(x^3 - 3x^2 + 3x - 2) : (x - 2) = x^2 - x + 1$.
Итоговый вид знаменателя: $(x - 2)(x^2 - x + 1)$.

Теперь сократим дробь:

$\frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)(x - 2)}{(x - 2)(x^2 - x + 1)} = x + 1$.

Ответ: $x+1$.

4) $\frac{x^3 + 5x^2 + 7x + 3}{2x^3 + 5x^2 + 4x + 1}$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $P(x) = x^3 + 5x^2 + 7x + 3$.
Найдем корни, проверив делители свободного члена (3): $\pm 1, \pm 3$.
$P(-1) = (-1)^3 + 5(-1)^2 + 7(-1) + 3 = -1 + 5 - 7 + 3 = 0$. Значит, $(x+1)$ является множителем.
Разделим многочлен на $(x+1)$: $(x^3 + 5x^2 + 7x + 3) : (x+1) = x^2 + 4x + 3$.
Разложим $x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3)$.
Итоговый вид числителя: $(x+1)(x+1)(x+3) = (x+1)^2(x+3)$.

Знаменатель: $Q(x) = 2x^3 + 5x^2 + 4x + 1$.
Проверим возможные рациональные корни $\pm 1, \pm 1/2$.
$Q(-1) = 2(-1)^3 + 5(-1)^2 + 4(-1) + 1 = -2 + 5 - 4 + 1 = 0$. Значит, $(x+1)$ является множителем.
Разделим многочлен на $(x+1)$: $(2x^3 + 5x^2 + 4x + 1) : (x+1) = 2x^2 + 3x + 1$.
Разложим $2x^2 + 3x + 1$. Корни уравнения $2x^2 + 3x + 1 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = -1/2$.
Следовательно, $2x^2 + 3x + 1 = 2(x+1)(x+1/2) = (x+1)(2x+1)$.
Итоговый вид знаменателя: $(x+1)(x+1)(2x+1) = (x+1)^2(2x+1)$.

Теперь сократим дробь:

$\frac{(x+1)^2(x+3)}{(x+1)^2(2x+1)} = \frac{x+3}{2x+1}$.

Ответ: $\frac{x+3}{2x+1}$.

5) $\frac{x^4 - 16}{x^4 - 4x^3 + 8x^2 - 16x + 16}$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^4 - 16$ — это разность квадратов.
$x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$.

Знаменатель: $x^4 - 4x^3 + 8x^2 - 16x + 16$.
Сгруппируем слагаемые: $(x^4 + 8x^2 + 16) - (4x^3 + 16x)$.
Первая группа является полным квадратом: $(x^2 + 4)^2$.
Во второй группе вынесем общий множитель $-4x$: $-4x(x^2 + 4)$.
Получим выражение: $(x^2 + 4)^2 - 4x(x^2 + 4)$.
Вынесем общий множитель $(x^2 + 4)$: $(x^2 + 4)(x^2 + 4 - 4x) = (x^2 + 4)(x^2 - 4x + 4)$.
Второй множитель, $x^2 - 4x + 4$, является полным квадратом: $(x - 2)^2$.
Итоговый вид знаменателя: $(x^2 + 4)(x - 2)^2$.

Теперь сократим дробь:

$\frac{(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)}{(x^2 + 4)(x - 2)^2} = \frac{x + 2}{x - 2}$.

Ответ: $\frac{x+2}{x-2}$.

833. Доказать, что для любых чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство:

1) $a^2 + b^2 \ge 2(a+b-1);$

2) $2a^2 + 5b^2 \ge 2ab;$

3) $a^2 + b^2 \ge ab + a + b - 1;$

4) $a^2 + ab + b^2 \ge 0;$

5) $a^4 + b^4 \ge a^3b + ab^3;$

6) $(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) \ge (a^3 + b^3)^2.$

1) Докажем неравенство $a^2 + b^2 \ge 2(a + b - 1)$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть и раскроем скобки:

$a^2 + b^2 - 2a - 2b + 2 \ge 0$

Сгруппируем слагаемые для выделения полных квадратов:

$(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) \ge 0$

Это выражение можно записать в виде суммы квадратов:

$(a - 1)^2 + (b - 1)^2 \ge 0$

Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то $(a - 1)^2 \ge 0$ и $(b - 1)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна. Следовательно, исходное неравенство справедливо для любых чисел $a$ и $b$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Докажем неравенство $2a^2 + 5b^2 \ge 2ab$.

Перенесем член $2ab$ в левую часть:

$2a^2 - 2ab + 5b^2 \ge 0$

Преобразуем левую часть, выделив полный квадрат относительно переменной $a$:

$2(a^2 - ab) + 5b^2 \ge 0$

$2(a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + (\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2) + 5b^2 \ge 0$

$2((a - \frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{4}) + 5b^2 \ge 0$

$2(a - \frac{b}{2})^2 - \frac{2b^2}{4} + 5b^2 \ge 0$

$2(a - \frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{2} + 5b^2 \ge 0$

$2(a - \frac{b}{2})^2 + \frac{9}{2}b^2 \ge 0$

Полученное выражение является суммой двух слагаемых. Первое слагаемое $2(a - \frac{b}{2})^2 \ge 0$ как квадрат, умноженный на положительное число. Второе слагаемое $\frac{9}{2}b^2 \ge 0$ также как квадрат, умноженный на положительное число. Сумма неотрицательных слагаемых неотрицательна. Значит, неравенство доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3) Докажем неравенство $a^2 + b^2 \ge ab + a + b - 1$.

Перенесем все члены в левую часть:

$a^2 + b^2 - ab - a - b + 1 \ge 0$

Умножим обе части неравенства на 2 (знак неравенства не изменится):

$2a^2 + 2b^2 - 2ab - 2a - 2b + 2 \ge 0$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты:

$(a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) \ge 0$

Это выражение можно записать как сумму трех квадратов:

$(a - b)^2 + (a - 1)^2 + (b - 1)^2 \ge 0$

Каждое из слагаемых в левой части неотрицательно, так как является квадратом действительного числа. Их сумма также неотрицательна. Неравенство справедливо.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4) Докажем неравенство $a^2 + ab + b^2 \ge 0$.

Выделим в левой части полный квадрат относительно переменной $a$:

$a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + (\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2 + b^2 \ge 0$

$(a + \frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{4} + b^2 \ge 0$

$(a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2 \ge 0$

Левая часть представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых: $(a + \frac{b}{2})^2 \ge 0$ и $\frac{3}{4}b^2 \ge 0$. Их сумма всегда неотрицательна. Неравенство доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

5) Докажем неравенство $a^4 + b^4 \ge a^3b + ab^3$.

Перенесем все члены в левую часть:

$a^4 + b^4 - a^3b - ab^3 \ge 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(a^4 - a^3b) + (b^4 - ab^3) \ge 0$

$a^3(a - b) - b^3(a - b) \ge 0$

Вынесем общий множитель $(a-b)$:

$(a - b)(a^3 - b^3) \ge 0$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$(a - b)(a - b)(a^2 + ab + b^2) \ge 0$

$(a - b)^2(a^2 + ab + b^2) \ge 0$

Рассмотрим множители в левой части. Первый множитель $(a-b)^2 \ge 0$, так как это квадрат действительного числа. Второй множитель $a^2 + ab + b^2 \ge 0$, что было доказано в пункте 4. Произведение двух неотрицательных чисел также неотрицательно. Таким образом, неравенство верно.

Ответ: Что и требовалось доказать.

6) Докажем неравенство $(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) \ge (a^3 + b^3)^2$.

Раскроем скобки в обеих частях неравенства.

Левая часть: $(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) = a^6 + a^2b^4 + a^4b^2 + b^6$.

Правая часть: $(a^3 + b^3)^2 = (a^3)^2 + 2a^3b^3 + (b^3)^2 = a^6 + 2a^3b^3 + b^6$.

Подставим раскрытые выражения в исходное неравенство:

$a^6 + a^2b^4 + a^4b^2 + b^6 \ge a^6 + 2a^3b^3 + b^6$

Вычтем из обеих частей $a^6 + b^6$:

$a^2b^4 + a^4b^2 \ge 2a^3b^3$

Перенесем все в левую часть:

$a^4b^2 - 2a^3b^3 + a^2b^4 \ge 0$

Вынесем общий множитель $a^2b^2$ за скобки:

$a^2b^2(a^2 - 2ab + b^2) \ge 0$

Выражение в скобках является полным квадратом разности:

$a^2b^2(a - b)^2 \ge 0$

Левая часть представляет собой произведение двух множителей: $a^2b^2 = (ab)^2 \ge 0$ и $(a - b)^2 \ge 0$. Произведение двух неотрицательных чисел неотрицательно. Неравенство доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

834. Доказать, что для любых положительных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство:

1) $a + \frac{1}{a} + b + \frac{1}{b} \ge 2\sqrt{ab} + \frac{2}{\sqrt{ab}}$;

2) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + 1 \ge \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{ab}}$.

1) Для доказательства неравенства $a + \frac{1}{a} + b + \frac{1}{b} \ge 2\sqrt{ab} + \frac{2}{\sqrt{ab}}$ воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши). Для любых двух положительных чисел $x$ и $y$ оно имеет вид $x+y \ge 2\sqrt{xy}$.

Сначала сгруппируем члены в левой части исходного неравенства: $(a+b) + (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$.

Теперь применим неравенство Коши к паре чисел $a$ и $b$:

$a+b \ge 2\sqrt{ab}$

Затем применим это же неравенство к паре чисел $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge 2\sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}} = 2\sqrt{\frac{1}{ab}} = \frac{2}{\sqrt{ab}}$

Сложив два полученных неравенства, получаем:

$(a+b) + (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \ge 2\sqrt{ab} + \frac{2}{\sqrt{ab}}$

Это доказывает справедливость исходного неравенства. Равенство в данном неравенстве достигается тогда и только тогда, когда $a=b$.

Ответ: Неравенство доказано.

2) Докажем неравенство $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + 1 \ge \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{ab}}$.

Для удобства введем замену переменных. Пусть $x = \frac{1}{\sqrt{a}}$ и $y = \frac{1}{\sqrt{b}}$. Поскольку по условию $a > 0$ и $b > 0$, то и переменные $x, y$ также положительны.В новых переменных члены неравенства примут вид: $\frac{1}{a} = x^2$, $\frac{1}{b} = y^2$ и $\frac{1}{\sqrt{ab}} = \frac{1}{\sqrt{a}}\frac{1}{\sqrt{b}} = xy$.

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$x^2 + y^2 + 1 \ge x + y + xy$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + y^2 + 1 - x - y - xy \ge 0$

Чтобы доказать это неравенство, умножим обе его части на 2 (так как 2 > 0, знак неравенства не изменится):

$2x^2 + 2y^2 + 2 - 2x - 2y - 2xy \ge 0$

Теперь сгруппируем члены в левой части таким образом, чтобы выделить полные квадраты:

$(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) \ge 0$

Это выражение представляет собой сумму трех квадратов:

$(x-y)^2 + (x-1)^2 + (y-1)^2 \ge 0$

Полученное неравенство является верным для любых действительных чисел $x$ и $y$, так как квадрат любого действительного числа — неотрицательная величина, и сумма неотрицательных величин также неотрицательна. Следовательно, исходное неравенство верно для любых положительных чисел $a$ и $b$. Равенство достигается при $x=y=1$, что соответствует $a=b=1$.

Ответ: Неравенство доказано.

835. Доказать, что для любых чисел $a, b, c$ выполняется неравенство:

1) $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ac;$

2) $(a + b + c)^2 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2).$

Докажем неравенство $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ac$.

Для этого перенесём все члены в левую часть неравенства, чтобы сравнить полученное выражение с нулём:

$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac \geq 0$

Умножим обе части неравенства на 2. Знак неравенства при этом не изменится, так как 2 является положительным числом.

$2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) \geq 2 \cdot 0$

$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac \geq 0$

Теперь перегруппируем слагаемые таким образом, чтобы выделить полные квадраты разностей. Для этого представим $2a^2$ как $a^2+a^2$, $2b^2$ как $b^2+b^2$ и $2c^2$ как $c^2+c^2$.

$(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ac + a^2) \geq 0$

Свернём каждую скобку по формуле квадрата разности. В результате получим сумму трёх квадратов:

$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \geq 0$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной. Следовательно, каждое из слагаемых в левой части неравенства больше или равно нулю: $(a - b)^2 \geq 0$, $(b - c)^2 \geq 0$ и $(c - a)^2 \geq 0$. Сумма неотрицательных чисел также всегда неотрицательна. Таким образом, последнее неравенство является истинным для любых чисел $a, b, c$.

Поскольку все выполненные преобразования были эквивалентными, то и исходное неравенство $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ac$ также верно.

Ответ: Неравенство доказано.

Докажем неравенство $(a + b + c)^2 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2)$.

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы трёх чисел:

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$

Подставим полученное выражение в исходное неравенство:

$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac \leq 3(a^2 + b^2 + c^2)$

Теперь перенесём все члены в правую часть, чтобы упростить выражение:

$0 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2) - (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac)$

$0 \leq 3a^2 + 3b^2 + 3c^2 - a^2 - b^2 - c^2 - 2ab - 2bc - 2ac$

Приведём подобные слагаемые в правой части:

$0 \leq 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac$

Разделим обе части неравенства на 2:

$0 \leq a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac$

Мы получили неравенство $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ac$, справедливость которого была доказана в пункте 1.

Так как все преобразования были равносильными, а последнее неравенство верно для любых чисел $a, b, c$, то и исходное неравенство $(a + b + c)^2 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2)$ также верно.

Ответ: Неравенство доказано.