Страница 274 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

801. Доказать, что ни при каком целом $n$ значение выражения $n^2 + 5n + 16$ не делится на 169.

Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что существует такое целое число $n$, для которого выражение $n^2 + 5n + 16$ делится на 169.

Запишем это предположение в виде сравнения по модулю: $n^2 + 5n + 16 \equiv 0 \pmod{169}$

Число 169 является квадратом простого числа 13: $169 = 13^2$. Если число делится на 169, оно должно делиться и на 13. Следовательно, из нашего предположения вытекает, что должно выполняться и следующее сравнение: $n^2 + 5n + 16 \equiv 0 \pmod{13}$

Упростим это сравнение, заменив число 16 на его остаток от деления на 13. Так как $16 = 1 \cdot 13 + 3$, то $16 \equiv 3 \pmod{13}$. Сравнение принимает вид: $n^2 + 5n + 3 \equiv 0 \pmod{13}$

Мы получили квадратное сравнение. Чтобы найти возможные значения $n$, найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ для квадратного трехчлена $an^2+bn+c$. В нашем случае $a=1$, $b=5$, $c=3$. $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 25 - 12 = 13$

Поскольку $D = 13$, то по модулю 13 дискриминант равен нулю: $D \equiv 0 \pmod{13}$. Это означает, что квадратное сравнение имеет ровно одно решение (корень кратности 2). Найдем этот корень по формуле $n \equiv -b(2a)^{-1} \pmod{13}$. Нам нужно найти мультипликативное обратное для $2a=2$ по модулю 13. Это число 7, так как $2 \cdot 7 = 14 \equiv 1 \pmod{13}$. Теперь находим $n$:
$n \equiv -5 \cdot 7 \pmod{13}$
$n \equiv -35 \pmod{13}$
Поскольку $-35 = -3 \cdot 13 + 4$, то $-35 \equiv 4 \pmod{13}$.

Таким образом, единственным возможным вариантом для $n$ (по модулю 13) является $n \equiv 4 \pmod{13}$. Это значит, что любое целое $n$, для которого $n^2 + 5n + 16$ делится на 13, должно иметь вид $n = 13k + 4$, где $k$ — некоторое целое число.

Теперь вернемся к нашему исходному предположению о делимости на 169. Подставим найденный вид $n$ в выражение $n^2 + 5n + 16$:
$(13k + 4)^2 + 5(13k + 4) + 16 = ((13k)^2 + 2 \cdot 13k \cdot 4 + 4^2) + (5 \cdot 13k + 20) + 16$
$= (169k^2 + 104k + 16) + (65k + 20) + 16$
$= 169k^2 + (104k + 65k) + (16 + 20 + 16)$
$= 169k^2 + 169k + 52$

Вынесем общий множитель 169: $169(k^2 + k) + 52$

Первое слагаемое $169(k^2 + k)$ делится на 169 без остатка при любом целом $k$. Второе слагаемое — 52. Очевидно, что 52 не делится на 169. Следовательно, вся сумма $169(k^2 + k) + 52$ при делении на 169 дает остаток 52 и, значит, не делится на 169 ни при каком целом $k$.

Мы пришли к противоречию с нашим первоначальным предположением. Следовательно, не существует такого целого числа $n$, при котором значение выражения $n^2 + 5n + 16$ делится на 169. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

802. Доказать, что если сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 3, то и каждое из этих чисел делится на 3.

Пусть даны два натуральных числа $a$ и $b$. По условию задачи, сумма их квадратов $a^2 + b^2$ делится на 3. Это можно записать с помощью сравнений по модулю: $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod{3}$.

Рассмотрим, какие остатки может давать квадрат натурального числа при делении на 3. Любое натуральное число $n$ при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2.

• Если число $n$ делится на 3, то $n = 3k$ для некоторого целого $k \ge 1$. Тогда его квадрат $n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$. В этом случае $n^2$ делится на 3, то есть $n^2 \equiv 0 \pmod{3}$.

• Если число $n$ дает остаток 1 при делении на 3, то $n = 3k + 1$. Тогда его квадрат $n^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$. В этом случае $n^2$ дает остаток 1 при делении на 3, то есть $n^2 \equiv 1 \pmod{3}$.

• Если число $n$ дает остаток 2 при делении на 3, то $n = 3k + 2$. Тогда его квадрат $n^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$. В этом случае $n^2$ также дает остаток 1 при делении на 3, то есть $n^2 \equiv 1 \pmod{3}$.

Таким образом, мы видим, что квадрат любого натурального числа при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1. Причем остаток 0 получается только в том случае, если само число делится на 3.

Теперь вернемся к нашему условию: $a^2 + b^2$ делится на 3, или $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod{3}$. Поскольку остатки от деления $a^2$ и $b^2$ на 3 могут быть только 0 или 1, рассмотрим все возможные комбинации их сумм:

• Если $a^2 \equiv 0 \pmod{3}$ и $b^2 \equiv 0 \pmod{3}$, то их сумма $a^2 + b^2 \equiv 0 + 0 \equiv 0 \pmod{3}$. Этот случай удовлетворяет условию.

• Если $a^2 \equiv 0 \pmod{3}$ и $b^2 \equiv 1 \pmod{3}$, то их сумма $a^2 + b^2 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{3}$. Этот случай не удовлетворяет условию.

• Если $a^2 \equiv 1 \pmod{3}$ и $b^2 \equiv 0 \pmod{3}$, то их сумма $a^2 + b^2 \equiv 1 + 0 \equiv 1 \pmod{3}$. Этот случай не удовлетворяет условию.

• Если $a^2 \equiv 1 \pmod{3}$ и $b^2 \equiv 1 \pmod{3}$, то их сумма $a^2 + b^2 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{3}$. Этот случай также не удовлетворяет условию.

Единственная комбинация, при которой сумма квадратов делится на 3, — это когда квадрат каждого числа делится на 3. То есть, из условия $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod{3}$ следует, что $a^2 \equiv 0 \pmod{3}$ и $b^2 \equiv 0 \pmod{3}$.

Как мы установили ранее, если квадрат числа делится на 3, то и само число делится на 3. Следовательно, из $a^2 \equiv 0 \pmod{3}$ вытекает, что $a \equiv 0 \pmod{3}$ (т.е. $a$ делится на 3), а из $b^2 \equiv 0 \pmod{3}$ вытекает, что $b \equiv 0 \pmod{3}$ (т.е. $b$ делится на 3).

Таким образом, доказано, что если сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 3, то и каждое из этих чисел делится на 3.

Ответ: Утверждение доказано. Если $a, b \in \mathbb{N}$ и $a^2 + b^2$ делится на 3, то и $a$, и $b$ делятся на 3.

803. Доказать, что ни одно из чисел вида $n^3-3$, где $n$ — натуральное число, не делится на 7.

Чтобы доказать, что ни одно из чисел вида $n^3-3$, где $n$ — натуральное число, не делится на 7, мы воспользуемся теорией сравнений по модулю. Нам нужно показать, что выражение $n^3-3$ никогда не сравнимо с нулём по модулю 7, то есть $n^3-3 \not\equiv 0 \pmod{7}$ ни для какого натурального $n$. Это утверждение равносильно тому, что сравнение $n^3 \equiv 3 \pmod{7}$ не имеет решений.

Любое натуральное число $n$ при делении на 7 может давать один из следующих остатков: 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Рассмотрим, какие остатки при делении на 7 может давать куб этого числа, $n^3$. Для этого проверим все возможные остатки $n$ по модулю 7.

• Если $n \equiv 0 \pmod{7}$, то $n^3 \equiv 0^3 \equiv 0 \pmod{7}$.
• Если $n \equiv 1 \pmod{7}$, то $n^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \pmod{7}$.
• Если $n \equiv 2 \pmod{7}$, то $n^3 \equiv 2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$.
• Если $n \equiv 3 \pmod{7}$, то $n^3 \equiv 3^3 = 27 = 3 \cdot 7 + 6 \equiv 6 \pmod{7}$.
• Если $n \equiv 4 \pmod{7}$, то $n^3 \equiv 4^3 = 64 = 9 \cdot 7 + 1 \equiv 1 \pmod{7}$.
• Если $n \equiv 5 \pmod{7}$, то $n^3 \equiv 5^3 = 125 = 17 \cdot 7 + 6 \equiv 6 \pmod{7}$.
• Если $n \equiv 6 \pmod{7}$, то $n^3 \equiv 6^3 = 216 = 30 \cdot 7 + 6 \equiv 6 \pmod{7}$.

Таким образом, мы видим, что куб любого натурального числа при делении на 7 может давать только остатки 0, 1 или 6. То есть, множество возможных значений $n^3 \pmod{7}$ есть $\{0, 1, 6\}$.

Теперь рассмотрим остатки от деления на 7 для выражения $n^3-3$. Для этого вычтем 3 из каждого возможного остатка для $n^3$:

• Если $n^3 \equiv 0 \pmod{7}$, то $n^3-3 \equiv 0-3 = -3 \equiv 4 \pmod{7}$.
• Если $n^3 \equiv 1 \pmod{7}$, то $n^3-3 \equiv 1-3 = -2 \equiv 5 \pmod{7}$.
• Если $n^3 \equiv 6 \pmod{7}$, то $n^3-3 \equiv 6-3 = 3 \pmod{7}$.

Как видно из вычислений, выражение $n^3-3$ при делении на 7 может давать только остатки 3, 4 или 5. Ни в одном из случаев остаток не равен 0.

Это означает, что число вида $n^3-3$ никогда не делится нацело на 7, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на переборе всех возможных остатков от деления $n$ на 7. Куб натурального числа $n^3$ может давать при делении на 7 только остатки 0, 1 или 6. Следовательно, выражение $n^3-3$ может давать при делении на 7 только остатки $0-3 \equiv 4$, $1-3 \equiv 5$ или $6-3 \equiv 3$. Поскольку ни один из этих остатков не равен нулю, число $n^3-3$ не может делиться на 7 ни при каком натуральном $n$.

804. Доказать, что если $p$ — простое число, большее трёх, то значение выражения $p^2-1$ делится на 24.

Для того чтобы доказать, что значение выражения $p^2-1$ делится на 24, необходимо показать, что оно делится одновременно на 3 и на 8, поскольку $24 = 3 \cdot 8$, а числа 3 и 8 взаимно простые.

Разложим выражение $p^2-1$ на множители по формуле разности квадратов:

$p^2-1 = (p-1)(p+1)$.

Докажем делимость на 3

По условию, $p$ — простое число, большее 3. Любое простое число, большее 3, не делится на 3. Следовательно, при делении на 3 число $p$ может давать в остатке 1 или 2.

1. Если $p$ при делении на 3 дает в остатке 1, то его можно представить в виде $p = 3k+1$, где $k$ — натуральное число. Тогда множитель $(p-1)$ будет равен:$p-1 = (3k+1) - 1 = 3k$.Так как один из множителей, $(p-1)$, делится на 3, то и все произведение $(p-1)(p+1)$ делится на 3.

2. Если $p$ при делении на 3 дает в остатке 2, то его можно представить в виде $p = 3k+2$, где $k$ — натуральное число. Тогда множитель $(p+1)$ будет равен:$p+1 = (3k+2) + 1 = 3k+3 = 3(k+1)$.В этом случае множитель $(p+1)$ делится на 3, а значит, и все произведение $(p-1)(p+1)$ делится на 3.

Таким образом, мы доказали, что $p^2-1$ всегда делится на 3.

Докажем делимость на 8

Любое простое число $p$, большее 3, является нечётным. Это означает, что числа $(p-1)$ и $(p+1)$ являются двумя последовательными чётными числами.

Например, если $p=5$, то $(p-1)=4$ и $(p+1)=6$. Если $p=11$, то $(p-1)=10$ и $(p+1)=12$.

В любой паре последовательных чётных чисел одно из них обязательно делится на 4. Другое число, будучи чётным, делится как минимум на 2.Следовательно, произведение двух последовательных чётных чисел всегда делится на $4 \cdot 2 = 8$.

Поскольку $(p-1)$ и $(p+1)$ — это два последовательных чётных числа, их произведение $(p-1)(p+1) = p^2-1$ делится на 8.

Заключение

Мы установили, что выражение $p^2-1$ делится на 3 и на 8. Так как числа 3 и 8 взаимно просты, то $p^2-1$ должно делиться на их произведение $3 \cdot 8 = 24$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

805. Найти все простые числа $n$ такие, что $n^2+8$ – простое число.

Нам необходимо найти все простые числа $n$ такие, что выражение $n^2 + 8$ также является простым числом.

Рассмотрим последовательно несколько случаев, перебирая простые числа $n$.

Если $n = 2$, то $n^2 + 8 = 2^2 + 8 = 4 + 8 = 12$. Число 12 является составным (делится на 2, 3, 4, 6), поэтому $n=2$ не является решением.

Если $n = 3$, то $n^2 + 8 = 3^2 + 8 = 9 + 8 = 17$. Число 17 является простым. Следовательно, $n=3$ — это решение.

Теперь рассмотрим любое простое число $n > 3$. Каждое такое число не делится на 3. Это означает, что при делении на 3 число $n$ дает в остатке либо 1, либо 2. Разберем оба этих варианта.

Случай 1: $n$ при делении на 3 дает в остатке 1.
В этом случае $n$ можно представить в виде $n = 3k + 1$ для некоторого натурального числа $k$. Тогда выражение $n^2 + 8$ примет вид: $n^2 + 8 = (3k + 1)^2 + 8 = (9k^2 + 6k + 1) + 8 = 9k^2 + 6k + 9$. Вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(3k^2 + 2k + 3)$. Так как $n > 3$, то $n^2 + 8 > 17$. Полученное число делится на 3 и больше 3, следовательно, оно является составным.

Случай 2: $n$ при делении на 3 дает в остатке 2.
В этом случае $n$ можно представить в виде $n = 3k + 2$ для некоторого натурального числа $k$. Тогда выражение $n^2 + 8$ примет вид: $n^2 + 8 = (3k + 2)^2 + 8 = (9k^2 + 12k + 4) + 8 = 9k^2 + 12k + 12$. Вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(3k^2 + 4k + 4)$. Это число также делится на 3 и, так как $n > 3$, оно больше 3. Следовательно, оно является составным.

Мы показали, что для любого простого числа $n > 3$ значение выражения $n^2 + 8$ является составным числом, так как оно всегда кратно 3.

Таким образом, существует только одно простое число $n$, удовлетворяющее условию задачи.

Ответ: 3.

806. Доказать, что если $p$ — простое число и $p \ge 5$, то остаток от деления $p^2$ на 12 равен 1.

Для того чтобы доказать, что если $p$ — простое число и $p \ge 5$, то остаток от деления $p^2$ на 12 равен 1, нам необходимо показать, что выражение $p^2 - 1$ делится на 12 без остатка.

Поскольку $12 = 3 \times 4$, и числа 3 и 4 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1), нам достаточно доказать, что $p^2 - 1$ делится одновременно и на 3, и на 4.

Рассмотрим выражение $p^2 - 1$, предварительно разложив его на множители по формуле разности квадратов: $p^2 - 1 = (p-1)(p+1)$.

Сначала докажем, что $(p-1)(p+1)$ делится на 3.
По условию, $p$ — простое число и $p \ge 5$. Это означает, что $p$ не может делиться на 3 (единственное простое число, делящееся на 3, это само число 3, но по условию $p \ge 5$). Рассмотрим три последовательных целых числа: $p-1, p, p+1$. Одно из этих чисел обязательно делится на 3. Так как $p$ на 3 не делится, то на 3 делится либо $p-1$, либо $p+1$. Следовательно, их произведение $(p-1)(p+1)$ в любом случае будет делиться на 3.

Теперь докажем, что $(p-1)(p+1)$ делится на 4.
Поскольку $p$ — простое число и $p \ge 5$, $p$ является нечетным числом. Тогда $p-1$ и $p+1$ — это два последовательных четных числа (например, если $p=5$, то это 4 и 6; если $p=7$, то это 6 и 8). Из двух последовательных четных чисел одно обязательно делится не только на 2, но и на 4. Таким образом, в произведении $(p-1)(p+1)$ один множитель является четным (делится на 2), а другой делится на 4. Следовательно, их произведение делится на $2 \times 4 = 8$, а значит, тем более делится и на 4.

Итак, мы установили, что выражение $p^2 - 1$ делится и на 3, и на 4. Так как числа 3 и 4 взаимно просты, то $p^2 - 1$ должно делиться и на их произведение, то есть на 12.
Если $p^2 - 1$ делится на 12, это можно записать как $p^2 - 1 = 12k$ для некоторого целого числа $k$. Отсюда следует, что $p^2 = 12k + 1$. Это по определению означает, что остаток от деления $p^2$ на 12 равен 1, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

807. Доказать, что если $n$ — натуральное число и $n > 1$, то $n^4 + 4$ — составное число.

Для того чтобы доказать, что число $n^4 + 4$ является составным при натуральном $n > 1$, нам нужно показать, что его можно разложить на два множителя, каждый из которых является целым числом, большим 1.

Рассмотрим выражение $n^4 + 4$. Мы можем преобразовать его, используя метод выделения полного квадрата. Для этого добавим и вычтем одно и то же слагаемое, а именно $4n^2$:$n^4 + 4 = n^4 + 4n^2 + 4 - 4n^2$

Теперь сгруппируем первые три слагаемых. Они представляют собой полный квадрат суммы $(n^2+2)^2$. Выражение $4n^2$ можно записать как $(2n)^2$. Таким образом, мы получаем:$(n^4 + 4n^2 + 4) - 4n^2 = (n^2 + 2)^2 - (2n)^2$

Полученное выражение является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по известной формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В нашем случае $a = n^2 + 2$ и $b = 2n$:$(n^2 + 2)^2 - (2n)^2 = (n^2 + 2 - 2n)(n^2 + 2 + 2n)$

Итак, мы представили исходное выражение в виде произведения двух множителей:$n^4 + 4 = (n^2 - 2n + 2)(n^2 + 2n + 2)$

Теперь необходимо доказать, что при $n > 1$ оба этих множителя являются целыми числами, строго большими 1. Так как по условию $n$ — натуральное число, то и значения выражений в скобках будут целыми.

Проанализируем первый множитель: $n^2 - 2n + 2$.Выделим в нем полный квадрат:$n^2 - 2n + 2 = (n^2 - 2n + 1) + 1 = (n-1)^2 + 1$По условию $n$ — натуральное число и $n > 1$, что означает $n \ge 2$.Следовательно, разность $n-1 \ge 1$, и ее квадрат $(n-1)^2 \ge 1$.Тогда значение первого множителя $(n-1)^2 + 1 \ge 1 + 1 = 2$.Таким образом, первый множитель $(n^2 - 2n + 2)$ всегда больше 1.

Проанализируем второй множитель: $n^2 + 2n + 2$.Поскольку $n \ge 2$, все слагаемые в этом выражении положительны.Найдем его наименьшее значение при $n=2$:$2^2 + 2(2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10$.Для всех $n \ge 2$ значение этого множителя будет не меньше 10, так как функция $f(n) = n^2+2n+2$ возрастает для положительных $n$.Следовательно, второй множитель $(n^2 + 2n + 2)$ также всегда больше 1.

Поскольку число $n^4 + 4$ представляется в виде произведения двух целых чисел, $(n^2 - 2n + 2)$ и $(n^2 + 2n + 2)$, каждое из которых для любого натурального $n>1$ больше единицы, то по определению число $n^4 + 4$ является составным.

Ответ: Выражение $n^4+4$ было разложено на два множителя: $(n^2 - 2n + 2)$ и $(n^2 + 2n + 2)$. Было доказано, что для любого натурального числа $n > 1$ оба множителя являются целыми числами, строго большими 1. Следовательно, число $n^4+4$ является составным для всех натуральных $n > 1$, что и требовалось доказать.

808. Найти целые числа $x$ и $y$, удовлетворяющие уравнению $x + y = xy$.

Для решения данного уравнения в целых числах $x$ и $y$, преобразуем его с целью последующей факторизации.

Исходное уравнение:$x + y = xy$

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения:$xy - x - y = 0$

Чтобы разложить левую часть на множители, можно использовать метод группировки. Для этого добавим к обеим частям уравнения 1. Это позволит нам выделить общий множитель.$xy - x - y + 1 = 1$

Сгруппируем слагаемые в левой части:$x(y - 1) - (y - 1) = 1$

Вынесем общий множитель $(y - 1)$ за скобки:$(x - 1)(y - 1) = 1$

По условию задачи, $x$ и $y$ являются целыми числами. Следовательно, выражения $(x - 1)$ и $(y - 1)$ также являются целыми числами. Произведение двух целых чисел равно 1 только в двух случаях:

1. Оба множителя равны 1.$\begin{cases}x - 1 = 1 \\y - 1 = 1\end{cases}$Из этой системы получаем решение $x = 2$, $y = 2$.

2. Оба множителя равны -1.$\begin{cases}x - 1 = -1 \\y - 1 = -1\end{cases}$Из этой системы получаем решение $x = 0$, $y = 0$.

Таким образом, мы нашли все пары целых чисел, удовлетворяющих исходному уравнению.

Ответ: $(0, 0)$ и $(2, 2)$.

809. Доказать равенство:

1) $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} + \frac{5}{\sqrt{3}+2\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{8}-\sqrt{5}};

2) $\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} - \frac{8}{\sqrt{3}-\sqrt{11}} = \frac{4}{\sqrt{11}-\sqrt{7}};

3) $\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}} = \sqrt{99}-1;

4) $\frac{1}{a(a+1)} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+3)} = \frac{3}{a(a+3)};

5) $n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2$.

Докажем равенство $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} + \frac{5}{\sqrt{3}+2\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$.
Для этого преобразуем левую и правую части по отдельности, избавляясь от иррациональности в знаменателях.

Преобразуем левую часть (ЛЧ).
Первое слагаемое: $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2} = \sqrt{5}+\sqrt{3}$.

Второе слагаемое. Заметим, что $2\sqrt{2} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8}$.
$\frac{5}{\sqrt{3}+2\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{3}+\sqrt{8}} = \frac{5(\sqrt{8}-\sqrt{3})}{(\sqrt{3}+\sqrt{8})(\sqrt{8}-\sqrt{3})} = \frac{5(\sqrt{8}-\sqrt{3})}{8-3} = \frac{5(\sqrt{8}-\sqrt{3})}{5} = \sqrt{8}-\sqrt{3}$.

Сложим полученные выражения, чтобы найти значение левой части: ЛЧ = $(\sqrt{5}+\sqrt{3}) + (\sqrt{8}-\sqrt{3}) = \sqrt{5}+\sqrt{8}$.

Теперь преобразуем правую часть (ПЧ):
$\frac{3}{\sqrt{8}-\sqrt{5}} = \frac{3(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{(\sqrt{8}-\sqrt{5})(\sqrt{8}+\sqrt{5})} = \frac{3(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{8-5} = \frac{3(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{3} = \sqrt{8}+\sqrt{5}$.

Мы получили, что ЛЧ = $\sqrt{5}+\sqrt{8}$ и ПЧ = $\sqrt{8}+\sqrt{5}$. Поскольку ЛЧ = ПЧ, равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

Докажем равенство $\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} - \frac{8}{\sqrt{3}-\sqrt{11}} = \frac{4}{\sqrt{11}-\sqrt{7}}$.
Преобразуем левую и правую части по отдельности.

Преобразуем левую часть (ЛЧ).
Упростим уменьшаемое: $\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7-3} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4} = \sqrt{7}-\sqrt{3}$.

Упростим вычитаемое: $\frac{8}{\sqrt{3}-\sqrt{11}} = \frac{8(\sqrt{3}+\sqrt{11})}{(\sqrt{3}-\sqrt{11})(\sqrt{3}+\sqrt{11})} = \frac{8(\sqrt{3}+\sqrt{11})}{3-11} = \frac{8(\sqrt{3}+\sqrt{11})}{-8} = -(\sqrt{3}+\sqrt{11}) = -\sqrt{3}-\sqrt{11}$.

Теперь найдем разность: ЛЧ = $(\sqrt{7}-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3}-\sqrt{11}) = \sqrt{7}-\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{11} = \sqrt{7}+\sqrt{11}$.

Преобразуем правую часть (ПЧ):
$\frac{4}{\sqrt{11}-\sqrt{7}} = \frac{4(\sqrt{11}+\sqrt{7})}{(\sqrt{11}-\sqrt{7})(\sqrt{11}+\sqrt{7})} = \frac{4(\sqrt{11}+\sqrt{7})}{11-7} = \frac{4(\sqrt{11}+\sqrt{7})}{4} = \sqrt{11}+\sqrt{7}$.

Сравнивая левую и правую части, видим, что ЛЧ = $\sqrt{7}+\sqrt{11}$ и ПЧ = $\sqrt{11}+\sqrt{7}$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

Докажем равенство $\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}} = \sqrt{99}-1$.
Данная сумма является телескопической. Преобразуем общий член ряда вида $\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}{(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(k+1)-k} = \sqrt{k+1}-\sqrt{k}$.

Теперь распишем сумму, используя полученное выражение для каждого слагаемого:
$\frac{1}{1+\sqrt{2}} = \sqrt{2}-1$
$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$
...
$\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}} = \sqrt{99}-\sqrt{98}$

Сложим все эти выражения: Сумма = $(\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{4}-\sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{99}-\sqrt{98})$.

Промежуточные члены взаимно уничтожаются ($\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ и $-\sqrt{3}$, и т.д.). Остаются только первый и последний компоненты: Сумма = $-1 + \sqrt{99} = \sqrt{99}-1$.

Левая часть равна $\sqrt{99}-1$, что совпадает с правой частью.

Ответ: Равенство доказано.

Докажем равенство $\frac{1}{a(a+1)} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+3)} = \frac{3}{a(a+3)}$.
Воспользуемся методом разложения дробей на простейшие. Общий вид слагаемого в левой части можно представить так: $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$.

Применим это правило к каждому слагаемому в левой части (ЛЧ):
$\frac{1}{a(a+1)} = \frac{1}{a} - \frac{1}{a+1}$
$\frac{1}{(a+1)(a+2)} = \frac{1}{a+1} - \frac{1}{a+2}$
$\frac{1}{(a+2)(a+3)} = \frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+3}$

Теперь сложим эти выражения. Это телескопическая сумма, в которой промежуточные члены сокращаются:
ЛЧ = $(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+1}) + (\frac{1}{a+1} - \frac{1}{a+2}) + (\frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+3}) = \frac{1}{a} - \frac{1}{a+3}$.

Приведем оставшиеся дроби к общему знаменателю: $\frac{1}{a} - \frac{1}{a+3} = \frac{1 \cdot (a+3) - 1 \cdot a}{a(a+3)} = \frac{a+3-a}{a(a+3)} = \frac{3}{a(a+3)}$.

Полученное выражение совпадает с правой частью равенства.

Ответ: Равенство доказано.

Докажем тождество $n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = (n^2+3n+1)^2$.
Преобразуем левую часть (ЛЧ) выражения. Сгруппируем множители следующим образом: ЛЧ = $[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1$.

Раскроем скобки в каждой группе:
$n(n+3) = n^2+3n$
$(n+1)(n+2) = n^2+2n+n+2 = n^2+3n+2$

Подставим полученные выражения обратно: ЛЧ = $(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1$.

Сделаем замену. Пусть $x = n^2+3n$. Тогда выражение примет вид: ЛЧ = $x(x+2)+1 = x^2+2x+1$.

Полученное выражение является формулой квадрата суммы: $(x+1)^2$.

Выполнив обратную замену $x = n^2+3n$, получим: ЛЧ = $(n^2+3n+1)^2$.

Это выражение совпадает с правой частью исходного равенства.

Ответ: Тождество доказано.

810. Доказать, что $1980 \cdot 1981 \cdot 1982 \cdot 1983 + 1$ является квадратом некоторого натурального числа $x$, и найти $x$.

Для доказательства и нахождения $x$ рассмотрим произведение четырех последовательных натуральных чисел в общем виде. Пусть первое число равно $n$. Тогда выражение можно записать как:

$n(n+1)(n+2)(n+3) + 1$

Чтобы упростить это выражение, сгруппируем множители, перемножив первый с последним и второй с третьим:

$[n(n+3)] \cdot [(n+1)(n+2)] + 1$

Раскроем скобки в каждой группе:

$(n^2 + 3n) \cdot (n^2 + 2n + n + 2) + 1 = (n^2 + 3n) \cdot (n^2 + 3n + 2) + 1$

Теперь можно сделать замену переменной, чтобы сделать структуру выражения более очевидной. Пусть $y = n^2 + 3n$. Тогда наше выражение принимает вид:

$y(y+2) + 1$

Раскроем скобки и упростим:

$y^2 + 2y + 1$

Это выражение является формулой квадрата суммы (полным квадратом):

$(y+1)^2$

Теперь выполним обратную замену, подставив $n^2 + 3n$ вместо $y$:

$(n^2 + 3n + 1)^2$

Таким образом, мы доказали, что произведение четырех последовательных натуральных чисел плюс единица всегда является квадратом натурального числа $x = n^2 + 3n + 1$.

В нашей задаче $n = 1980$. Найдем значение $x$:

$x = n^2 + 3n + 1 = 1980^2 + 3 \cdot 1980 + 1$

Для вычисления можно использовать и другую формулу для $x$, полученную из группировки: $x = n(n+3)+1$.

$x = 1980 \cdot (1980 + 3) + 1 = 1980 \cdot 1983 + 1$

Вычислим значение:

$x = 1980 \cdot 1983 + 1 = 3926340 + 1 = 3926341$

Ответ: Выражение $1980 \cdot 1981 \cdot 1982 \cdot 1983 + 1$ равно $(1980^2 + 3 \cdot 1980 + 1)^2$, что доказывает, что оно является квадратом натурального числа. Это натуральное число $x$ равно $3926341$.

811. Доказать равенство:

1) $\frac{a^3(c-b) + b^3(a-c) + c^3(b-a)}{a^2(c-b) + b^2(a-c) + c^2(b-a)} = a+b+c;$

2) $a(b^2-c^2) + b(c^2-a^2) + c(a^2-b^2) = (a-b)(b-c)(c-a);$

3) $(a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3(a+b)(b+c)(c+a);$

4) $a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca);$

5) $(a+b+c)^3 - (a+b-c)^3 - (b+c-a)^3 - (c+a-b)^3 = 24abc;$

6) $(b-c)^3 + (c-a)^3 + (a-b)^3 = 3(a-b)(a-c)(c-b).$

1) Докажем равенство $ \frac{a^3(c-b) + b^3(a-c) + c^3(b-a)}{a^2(c-b) + b^2(a-c) + c^2(b-a)} = a+b+c $.

Преобразуем числитель $N = a^3(c-b) + b^3(a-c) + c^3(b-a)$ и знаменатель $D = a^2(c-b) + b^2(a-c) + c^2(b-a)$ дроби, разложив их на множители.

Сначала преобразуем знаменатель $D$:

$D = a^2c - a^2b + b^2a - b^2c + c^2b - c^2a$

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной a:

$D = a^2(c-b) - a(c^2-b^2) + (b^2c - bc^2) = a^2(c-b) - a(c-b)(c+b) + bc(b-c)$

$D = a^2(c-b) - a(c-b)(c+b) - bc(c-b)$

Вынесем общий множитель $(c-b)$:

$D = (c-b)[a^2 - a(c+b) + bc] = (c-b)[a^2 - ac - ab + bc]$

$D = (c-b)[a(a-c) - b(a-c)] = (c-b)(a-c)(a-b)$.

Для удобства приведем к циклическому виду: $D = -(a-b)(b-c)(c-a)$.

Теперь преобразуем числитель $N$:

$N = a^3c - a^3b + b^3a - b^3c + c^3b - c^3a$

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной a:

$N = -a^3(b-c) + a(b^3-c^3) - (b^3c - bc^3) = -a^3(b-c) + a(b-c)(b^2+bc+c^2) - bc(b^2-c^2)$

$N = -a^3(b-c) + a(b-c)(b^2+bc+c^2) - bc(b-c)(b+c)$

Вынесем общий множитель $(b-c)$:

$N = (b-c)[-a^3 + a(b^2+bc+c^2) - bc(b+c)] = (b-c)[-a^3 + ab^2+abc+ac^2 - b^2c-bc^2]$

Сгруппируем слагаемые в квадратных скобках:

$N = (b-c)[-a^3+ac^2 + ab^2-b^2c + abc-bc^2] = (b-c)[-a(a^2-c^2) + b^2(a-c) + bc(a-c)]$

$N = (b-c)[-a(a-c)(a+c) + b^2(a-c) + bc(a-c)] $

Вынесем множитель $(a-c)$:

$N = (b-c)(a-c)[-a(a+c) + b^2+bc] = (b-c)(a-c)[-a^2-ac+b^2+bc]$

Сгруппируем слагаемые в последней скобке:

$N = (b-c)(a-c)[(b^2-a^2) - (ac-bc)] = (b-c)(a-c)[(b-a)(b+a) - c(a-b)]$

$N = (b-c)(a-c)[-(a-b)(a+b) - c(a-b)] = (b-c)(a-c)(a-b)[-(a+b)-c]$

$N = -(b-c)(a-c)(a-b)(a+b+c)$.

Приведем к циклическому виду: $N = -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$.

Теперь найдем отношение $N/D$:

$\frac{N}{D} = \frac{-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)}{-(a-b)(b-c)(c-a)} = a+b+c$

Равенство верно при $a \neq b, b \neq c, c \neq a$.

Ответ: Равенство доказано.

2) Докажем равенство $ a(b^2-c^2) + b(c^2-a^2) + c(a^2-b^2) = (a-b)(b-c)(c-a) $.

Преобразуем левую часть равенства (ЛЧ), раскрыв скобки:

ЛЧ $= ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной a:

ЛЧ $= a^2(c-b) + a(b^2-c^2) + (bc^2 - b^2c)$

Вынесем общие множители:

ЛЧ $= a^2(c-b) + a(b-c)(b+c) - bc(b-c) = -(b-c)a^2 + a(b-c)(b+c) - bc(b-c)$

Вынесем за скобки $(b-c)$:

ЛЧ $= (b-c)[-a^2 + a(b+c) - bc] = (b-c)[-a^2 + ab + ac - bc]$

Разложим на множители выражение в квадратных скобках:

ЛЧ $= (b-c)[-a(a-b) + c(a-b)] = (b-c)(c-a)(a-b)$

Переставим множители для соответствия с правой частью:

ЛЧ $= (a-b)(b-c)(c-a)$

Левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

3) Докажем равенство $ (a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3(a+b)(b+c)(c+a) $.

Воспользуемся формулой куба суммы $(x+y)^3 = x^3+y^3+3xy(x+y)$.

Представим левую часть (ЛЧ) как $((a+b)+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3$. Пусть $x=a+b, y=c$.

ЛЧ $= (a+b)^3 + c^3 + 3(a+b)c((a+b)+c) - a^3 - b^3 - c^3$

Сократим $c^3$ и $-c^3$. Раскроем $(a+b)^3$ по той же формуле:

ЛЧ $= (a^3+b^3+3ab(a+b)) + 3c(a+b)(a+b+c) - a^3 - b^3$

Сократим $a^3$ и $-a^3$, а также $b^3$ и $-b^3$:

ЛЧ $= 3ab(a+b) + 3c(a+b)(a+b+c)$

Вынесем общий множитель $3(a+b)$ за скобки:

ЛЧ $= 3(a+b)[ab + c(a+b+c)] = 3(a+b)[ab + ac + bc + c^2]$

Сгруппируем слагаемые в квадратных скобках и разложим на множители:

ЛЧ $= 3(a+b)[(ab+bc) + (ac+c^2)] = 3(a+b)[b(a+c) + c(a+c)] = 3(a+b)(b+c)(a+c)$

Поменяв местами множители $(a+c)$ и $(b+c)$, получим правую часть равенства. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

4) Докажем равенство $ a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) $.

Это известное тождество. Докажем его, раскрыв скобки в правой части (ПЧ).

ПЧ $= a(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) + b(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) + c(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

Выполним умножение:

ПЧ $= (a^3+ab^2+ac^2-a^2b-abc-ca^2) + (a^2b+b^3+bc^2-ab^2-b^2c-abc) + (ca^2+cb^2+c^3-abc-bc^2-c^2a)$

Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:

ПЧ $= a^3+b^3+c^3 + (ab^2-ab^2) + (ac^2-c^2a) + (-a^2b+a^2b) + (-ca^2+ca^2) + (bc^2-bc^2) + (-b^2c+cb^2) -abc-abc-abc$

ПЧ $= a^3+b^3+c^3 - 3abc$

Правая часть равна левой. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

5) Докажем равенство $ (a+b+c)^3 - (a+b-c)^3 - (b+c-a)^3 - (c+a-b)^3 = 24abc $.

Введем замены для упрощения левой части (ЛЧ):

Пусть $x = a+b-c$, $y = b+c-a$, $z = c+a-b$.

Найдем сумму этих переменных:

$x+y+z = (a+b-c) + (b+c-a) + (c+a-b) = a+b+c$.

Тогда ЛЧ можно переписать в виде:

ЛЧ $= (x+y+z)^3 - x^3 - y^3 - z^3$.

Из тождества, доказанного в пункте 3, мы знаем, что $(x+y+z)^3 - x^3 - y^3 - z^3 = 3(x+y)(y+z)(z+x)$.

Найдем значения выражений $(x+y)$, $(y+z)$ и $(z+x)$:

$x+y = (a+b-c) + (b+c-a) = 2b$

$y+z = (b+c-a) + (c+a-b) = 2c$

$z+x = (c+a-b) + (a+b-c) = 2a$

Подставим эти значения в преобразованную ЛЧ:

ЛЧ $= 3 \cdot (2b) \cdot (2c) \cdot (2a) = 3 \cdot 8abc = 24abc$.

Левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

6) Докажем равенство $ (b-c)^3 + (c-a)^3 + (a-b)^3 = 3(a-b)(a-c)(c-b) $.

Воспользуемся тождеством из пункта 4: $X^3+Y^3+Z^3-3XYZ = (X+Y+Z)(X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-ZX)$.

Из этого тождества следует, что если $X+Y+Z=0$, то $X^3+Y^3+Z^3 = 3XYZ$.

Введем замены:

Пусть $X = b-c$, $Y = c-a$, $Z = a-b$.

Проверим сумму этих переменных:

$X+Y+Z = (b-c) + (c-a) + (a-b) = b-c+c-a+a-b = 0$.

Так как сумма равна нулю, мы можем применить следствие из тождества:

$(b-c)^3 + (c-a)^3 + (a-b)^3 = 3(b-c)(c-a)(a-b)$.

Преобразуем правую часть полученного выражения, чтобы она соответствовала правой части доказываемого равенства:

$3(b-c)(c-a)(a-b) = 3(-1(c-b))(-1(a-c))(a-b) = 3(c-b)(a-c)(a-b)$.

Поменяв множители местами, получаем $3(a-b)(a-c)(c-b)$.

Левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

812. Доказать, что из равенства $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c}$ следует равенство $\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} = \frac{1}{a^3+b^3+c^3}$.

Для доказательства данного утверждения мы начнем с преобразования исходного равенства, чтобы найти ключевое соотношение между переменными $a$, $b$ и $c$.

Исходное равенство:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c}$

Перенесем $\frac{1}{c}$ в правую часть:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a+b+c} - \frac{1}{c}$

Приведем дроби к общему знаменателю на обеих сторонах равенства:

$\frac{a+b}{ab} = \frac{c - (a+b+c)}{c(a+b+c)}$

Упростим числитель в правой части:

$\frac{a+b}{ab} = \frac{c - a - b - c}{c(a+b+c)}$

$\frac{a+b}{ab} = \frac{-(a+b)}{c(a+b+c)}$

Перенесем все в левую часть:

$\frac{a+b}{ab} + \frac{a+b}{c(a+b+c)} = 0$

Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки:

$(a+b) \left( \frac{1}{ab} + \frac{1}{c(a+b+c)} \right) = 0$

Приведем к общему знаменателю выражение в скобках:

$(a+b) \left( \frac{c(a+b+c) + ab}{abc(a+b+c)} \right) = 0$

$(a+b) \left( \frac{ac+bc+c^2 + ab}{abc(a+b+c)} \right) = 0$

Сгруппируем слагаемые в числителе дроби:

$(a+b) \left( \frac{(ac+ab) + (bc+c^2)}{abc(a+b+c)} \right) = 0$

$(a+b) \left( \frac{a(c+b) + c(b+c)}{abc(a+b+c)} \right) = 0$

$(a+b) \left( \frac{(a+c)(b+c)}{abc(a+b+c)} \right) = 0$

В итоге получаем:

$\frac{(a+b)(a+c)(b+c)}{abc(a+b+c)} = 0$

Это равенство (при условии, что знаменатель не равен нулю, что предполагается исходными равенствами) выполняется тогда и только тогда, когда числитель равен нулю:

$(a+b)(a+c)(b+c) = 0$

Это означает, что хотя бы один из множителей равен нулю, то есть выполняется одно из условий: $a+b=0$, или $a+c=0$, или $b+c=0$.

Теперь рассмотрим равенство, которое нам нужно доказать:

$\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} = \frac{1}{a^3+b^3+c^3}$

Проводя аналогичные преобразования для этого выражения (заменив $a$, $b$, $c$ на $a^3$, $b^3$, $c^3$), мы получим, что оно эквивалентно следующему условию:

$(a^3+b^3)(a^3+c^3)(b^3+c^3) = 0$

Нам осталось доказать, что если $(a+b)(a+c)(b+c) = 0$, то и $(a^3+b^3)(a^3+c^3)(b^3+c^3) = 0$.

Рассмотрим три возможных случая, вытекающих из первого условия:

1. Если $a+b=0$, то $a=-b$.
В этом случае $a^3+b^3 = (-b)^3 + b^3 = -b^3 + b^3 = 0$.
Тогда произведение $(a^3+b^3)(a^3+c^3)(b^3+c^3)$ будет равно нулю, так как один из его множителей равен нулю.

2. Если $a+c=0$, то $a=-c$.
В этом случае $a^3+c^3 = (-c)^3 + c^3 = -c^3 + c^3 = 0$.
Произведение $(a^3+b^3)(a^3+c^3)(b^3+c^3)$ снова будет равно нулю.

3. Если $b+c=0$, то $b=-c$.
В этом случае $b^3+c^3 = (-c)^3 + c^3 = -c^3 + c^3 = 0$.
И в этом случае произведение $(a^3+b^3)(a^3+c^3)(b^3+c^3)$ равно нулю.

Таким образом, во всех случаях, когда выполняется исходное равенство, выполняется и равенство $(a^3+b^3)(a^3+c^3)(b^3+c^3)=0$, которое, в свою очередь, эквивалентно доказываемому равенству $\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} = \frac{1}{a^3+b^3+c^3}$.

Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.