Номер 803, страница 274 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 803, страница 274.

Условие.

803. Доказать, что ни одно из чисел вида $n^3-3$, где $n$ — натуральное число, не делится на 7.

Решение 4.

Чтобы доказать, что ни одно из чисел вида $n^3-3$, где $n$ — натуральное число, не делится на 7, мы воспользуемся теорией сравнений по модулю. Нам нужно показать, что выражение $n^3-3$ никогда не сравнимо с нулём по модулю 7, то есть $n^3-3 \not\equiv 0 \pmod{7}$ ни для какого натурального $n$. Это утверждение равносильно тому, что сравнение $n^3 \equiv 3 \pmod{7}$ не имеет решений.

Любое натуральное число $n$ при делении на 7 может давать один из следующих остатков: 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Рассмотрим, какие остатки при делении на 7 может давать куб этого числа, $n^3$. Для этого проверим все возможные остатки $n$ по модулю 7.

• Если $n \equiv 0 \pmod{7}$, то $n^3 \equiv 0^3 \equiv 0 \pmod{7}$.
• Если $n \equiv 1 \pmod{7}$, то $n^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \pmod{7}$.
• Если $n \equiv 2 \pmod{7}$, то $n^3 \equiv 2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$.
• Если $n \equiv 3 \pmod{7}$, то $n^3 \equiv 3^3 = 27 = 3 \cdot 7 + 6 \equiv 6 \pmod{7}$.
• Если $n \equiv 4 \pmod{7}$, то $n^3 \equiv 4^3 = 64 = 9 \cdot 7 + 1 \equiv 1 \pmod{7}$.
• Если $n \equiv 5 \pmod{7}$, то $n^3 \equiv 5^3 = 125 = 17 \cdot 7 + 6 \equiv 6 \pmod{7}$.
• Если $n \equiv 6 \pmod{7}$, то $n^3 \equiv 6^3 = 216 = 30 \cdot 7 + 6 \equiv 6 \pmod{7}$.

Таким образом, мы видим, что куб любого натурального числа при делении на 7 может давать только остатки 0, 1 или 6. То есть, множество возможных значений $n^3 \pmod{7}$ есть $\{0, 1, 6\}$.

Теперь рассмотрим остатки от деления на 7 для выражения $n^3-3$. Для этого вычтем 3 из каждого возможного остатка для $n^3$:

• Если $n^3 \equiv 0 \pmod{7}$, то $n^3-3 \equiv 0-3 = -3 \equiv 4 \pmod{7}$.
• Если $n^3 \equiv 1 \pmod{7}$, то $n^3-3 \equiv 1-3 = -2 \equiv 5 \pmod{7}$.
• Если $n^3 \equiv 6 \pmod{7}$, то $n^3-3 \equiv 6-3 = 3 \pmod{7}$.

Как видно из вычислений, выражение $n^3-3$ при делении на 7 может давать только остатки 3, 4 или 5. Ни в одном из случаев остаток не равен 0.

Это означает, что число вида $n^3-3$ никогда не делится нацело на 7, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на переборе всех возможных остатков от деления $n$ на 7. Куб натурального числа $n^3$ может давать при делении на 7 только остатки 0, 1 или 6. Следовательно, выражение $n^3-3$ может давать при делении на 7 только остатки $0-3 \equiv 4$, $1-3 \equiv 5$ или $6-3 \equiv 3$. Поскольку ни один из этих остатков не равен нулю, число $n^3-3$ не может делиться на 7 ни при каком натуральном $n$.