Номер 802, страница 274 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 802, страница 274.

Условие.

802. Доказать, что если сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 3, то и каждое из этих чисел делится на 3.

Решение 4.

Пусть даны два натуральных числа $a$ и $b$. По условию задачи, сумма их квадратов $a^2 + b^2$ делится на 3. Это можно записать с помощью сравнений по модулю: $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod{3}$.

Рассмотрим, какие остатки может давать квадрат натурального числа при делении на 3. Любое натуральное число $n$ при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2.

• Если число $n$ делится на 3, то $n = 3k$ для некоторого целого $k \ge 1$. Тогда его квадрат $n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$. В этом случае $n^2$ делится на 3, то есть $n^2 \equiv 0 \pmod{3}$.

• Если число $n$ дает остаток 1 при делении на 3, то $n = 3k + 1$. Тогда его квадрат $n^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$. В этом случае $n^2$ дает остаток 1 при делении на 3, то есть $n^2 \equiv 1 \pmod{3}$.

• Если число $n$ дает остаток 2 при делении на 3, то $n = 3k + 2$. Тогда его квадрат $n^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$. В этом случае $n^2$ также дает остаток 1 при делении на 3, то есть $n^2 \equiv 1 \pmod{3}$.

Таким образом, мы видим, что квадрат любого натурального числа при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1. Причем остаток 0 получается только в том случае, если само число делится на 3.

Теперь вернемся к нашему условию: $a^2 + b^2$ делится на 3, или $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod{3}$. Поскольку остатки от деления $a^2$ и $b^2$ на 3 могут быть только 0 или 1, рассмотрим все возможные комбинации их сумм:

• Если $a^2 \equiv 0 \pmod{3}$ и $b^2 \equiv 0 \pmod{3}$, то их сумма $a^2 + b^2 \equiv 0 + 0 \equiv 0 \pmod{3}$. Этот случай удовлетворяет условию.

• Если $a^2 \equiv 0 \pmod{3}$ и $b^2 \equiv 1 \pmod{3}$, то их сумма $a^2 + b^2 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{3}$. Этот случай не удовлетворяет условию.

• Если $a^2 \equiv 1 \pmod{3}$ и $b^2 \equiv 0 \pmod{3}$, то их сумма $a^2 + b^2 \equiv 1 + 0 \equiv 1 \pmod{3}$. Этот случай не удовлетворяет условию.

• Если $a^2 \equiv 1 \pmod{3}$ и $b^2 \equiv 1 \pmod{3}$, то их сумма $a^2 + b^2 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{3}$. Этот случай также не удовлетворяет условию.

Единственная комбинация, при которой сумма квадратов делится на 3, — это когда квадрат каждого числа делится на 3. То есть, из условия $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod{3}$ следует, что $a^2 \equiv 0 \pmod{3}$ и $b^2 \equiv 0 \pmod{3}$.

Как мы установили ранее, если квадрат числа делится на 3, то и само число делится на 3. Следовательно, из $a^2 \equiv 0 \pmod{3}$ вытекает, что $a \equiv 0 \pmod{3}$ (т.е. $a$ делится на 3), а из $b^2 \equiv 0 \pmod{3}$ вытекает, что $b \equiv 0 \pmod{3}$ (т.е. $b$ делится на 3).

Таким образом, доказано, что если сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 3, то и каждое из этих чисел делится на 3.

Ответ: Утверждение доказано. Если $a, b \in \mathbb{N}$ и $a^2 + b^2$ делится на 3, то и $a$, и $b$ делятся на 3.