Номер 801, страница 274 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 801, страница 274.

Условие.

801. Доказать, что ни при каком целом $n$ значение выражения $n^2 + 5n + 16$ не делится на 169.

Решение 4.

Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что существует такое целое число $n$, для которого выражение $n^2 + 5n + 16$ делится на 169.

Запишем это предположение в виде сравнения по модулю: $n^2 + 5n + 16 \equiv 0 \pmod{169}$

Число 169 является квадратом простого числа 13: $169 = 13^2$. Если число делится на 169, оно должно делиться и на 13. Следовательно, из нашего предположения вытекает, что должно выполняться и следующее сравнение: $n^2 + 5n + 16 \equiv 0 \pmod{13}$

Упростим это сравнение, заменив число 16 на его остаток от деления на 13. Так как $16 = 1 \cdot 13 + 3$, то $16 \equiv 3 \pmod{13}$. Сравнение принимает вид: $n^2 + 5n + 3 \equiv 0 \pmod{13}$

Мы получили квадратное сравнение. Чтобы найти возможные значения $n$, найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ для квадратного трехчлена $an^2+bn+c$. В нашем случае $a=1$, $b=5$, $c=3$. $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 25 - 12 = 13$

Поскольку $D = 13$, то по модулю 13 дискриминант равен нулю: $D \equiv 0 \pmod{13}$. Это означает, что квадратное сравнение имеет ровно одно решение (корень кратности 2). Найдем этот корень по формуле $n \equiv -b(2a)^{-1} \pmod{13}$. Нам нужно найти мультипликативное обратное для $2a=2$ по модулю 13. Это число 7, так как $2 \cdot 7 = 14 \equiv 1 \pmod{13}$. Теперь находим $n$:
$n \equiv -5 \cdot 7 \pmod{13}$
$n \equiv -35 \pmod{13}$
Поскольку $-35 = -3 \cdot 13 + 4$, то $-35 \equiv 4 \pmod{13}$.

Таким образом, единственным возможным вариантом для $n$ (по модулю 13) является $n \equiv 4 \pmod{13}$. Это значит, что любое целое $n$, для которого $n^2 + 5n + 16$ делится на 13, должно иметь вид $n = 13k + 4$, где $k$ — некоторое целое число.

Теперь вернемся к нашему исходному предположению о делимости на 169. Подставим найденный вид $n$ в выражение $n^2 + 5n + 16$:
$(13k + 4)^2 + 5(13k + 4) + 16 = ((13k)^2 + 2 \cdot 13k \cdot 4 + 4^2) + (5 \cdot 13k + 20) + 16$
$= (169k^2 + 104k + 16) + (65k + 20) + 16$
$= 169k^2 + (104k + 65k) + (16 + 20 + 16)$
$= 169k^2 + 169k + 52$

Вынесем общий множитель 169: $169(k^2 + k) + 52$

Первое слагаемое $169(k^2 + k)$ делится на 169 без остатка при любом целом $k$. Второе слагаемое — 52. Очевидно, что 52 не делится на 169. Следовательно, вся сумма $169(k^2 + k) + 52$ при делении на 169 дает остаток 52 и, значит, не делится на 169 ни при каком целом $k$.

Мы пришли к противоречию с нашим первоначальным предположением. Следовательно, не существует такого целого числа $n$, при котором значение выражения $n^2 + 5n + 16$ делится на 169. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.