Номер 835, страница 277 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 835, страница 277.

Условие.

835. Доказать, что для любых чисел $a, b, c$ выполняется неравенство:

1) $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ac;$

2) $(a + b + c)^2 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2).$

Решение 4.

1)

Докажем неравенство $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ac$.

Для этого перенесём все члены в левую часть неравенства, чтобы сравнить полученное выражение с нулём:

$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac \geq 0$

Умножим обе части неравенства на 2. Знак неравенства при этом не изменится, так как 2 является положительным числом.

$2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) \geq 2 \cdot 0$

$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac \geq 0$

Теперь перегруппируем слагаемые таким образом, чтобы выделить полные квадраты разностей. Для этого представим $2a^2$ как $a^2+a^2$, $2b^2$ как $b^2+b^2$ и $2c^2$ как $c^2+c^2$.

$(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ac + a^2) \geq 0$

Свернём каждую скобку по формуле квадрата разности. В результате получим сумму трёх квадратов:

$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \geq 0$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной. Следовательно, каждое из слагаемых в левой части неравенства больше или равно нулю: $(a - b)^2 \geq 0$, $(b - c)^2 \geq 0$ и $(c - a)^2 \geq 0$. Сумма неотрицательных чисел также всегда неотрицательна. Таким образом, последнее неравенство является истинным для любых чисел $a, b, c$.

Поскольку все выполненные преобразования были эквивалентными, то и исходное неравенство $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ac$ также верно.

Ответ: Неравенство доказано.

2)

Докажем неравенство $(a + b + c)^2 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2)$.

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы трёх чисел:

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$

Подставим полученное выражение в исходное неравенство:

$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac \leq 3(a^2 + b^2 + c^2)$

Теперь перенесём все члены в правую часть, чтобы упростить выражение:

$0 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2) - (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac)$

$0 \leq 3a^2 + 3b^2 + 3c^2 - a^2 - b^2 - c^2 - 2ab - 2bc - 2ac$

Приведём подобные слагаемые в правой части:

$0 \leq 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac$

Разделим обе части неравенства на 2:

$0 \leq a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac$

Мы получили неравенство $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ac$, справедливость которого была доказана в пункте 1.

Так как все преобразования были равносильными, а последнее неравенство верно для любых чисел $a, b, c$, то и исходное неравенство $(a + b + c)^2 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2)$ также верно.

Ответ: Неравенство доказано.