Номер 761, страница 270 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 761, страница 270.

Условие.

761. Доказать, что если коэффициенты квадратных уравнений $x^2 + p_1x + q_1 = 0$ и $x^2 + p_2x + q_2 = 0$ связаны равенством $p_1p_2 = 2(q_1 + q_2)$, то по крайней мере одно из этих уравнений имеет действительные корни.

Решение 4.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Напомним, что квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ является неотрицательным, то есть $D \ge 0$.

Для первого уравнения $x^2 + p_1x + q_1 = 0$ дискриминант $D_1 = p_1^2 - 4q_1$.

Для второго уравнения $x^2 + p_2x + q_2 = 0$ дискриминант $D_2 = p_2^2 - 4q_2$.

Нам необходимо доказать, что если выполняется равенство $p_1p_2 = 2(q_1 + q_2)$, то хотя бы одно из условий $D_1 \ge 0$ или $D_2 \ge 0$ является верным.

Предположим обратное: пусть оба уравнения не имеют действительных корней. Это значит, что их дискриминанты строго отрицательны:

$D_1 < 0 \implies p_1^2 - 4q_1 < 0 \implies p_1^2 < 4q_1$

$D_2 < 0 \implies p_2^2 - 4q_2 < 0 \implies p_2^2 < 4q_2$

Сложим эти два неравенства почленно:

$p_1^2 + p_2^2 < 4q_1 + 4q_2$

$p_1^2 + p_2^2 < 4(q_1 + q_2)$

Теперь используем данное в условии равенство $p_1p_2 = 2(q_1 + q_2)$. Из него можно выразить сумму $q_1 + q_2$:

$q_1 + q_2 = \frac{p_1p_2}{2}$

Подставим это выражение в неравенство, полученное из нашего предположения:

$p_1^2 + p_2^2 < 4 \left(\frac{p_1p_2}{2}\right)$

$p_1^2 + p_2^2 < 2p_1p_2$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$p_1^2 - 2p_1p_2 + p_2^2 < 0$

Левая часть этого неравенства является полным квадратом разности:

$(p_1 - p_2)^2 < 0$

Мы получили противоречие. Квадрат любого действительного числа (а коэффициенты $p_1$ и $p_2$ являются действительными числами) не может быть отрицательным. Для любых $p_1$ и $p_2$ всегда выполняется $(p_1 - p_2)^2 \ge 0$.

Так как наше исходное предположение (о том, что оба уравнения не имеют действительных корней) привело к противоречию, оно является неверным. Следовательно, верным является обратное утверждение: по крайней мере одно из уравнений имеет действительные корни.

Ответ: Утверждение доказано.