Номер 763, страница 270 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 763, страница 270.

Условие.

763. Сократить дробь:

1) $\frac{a^2 + ab - 6b^2}{a^2 - ab - 2b^2}$;

2) $\frac{2a^2 + 5ab - 3b^2}{4a^2 + 4ab - 3b^2}$;

3) $\frac{8a^3 + 27b^3}{2a^2 + ab - 3b^2}$.

Решение 4.

1) $\frac{a^2 + ab - 6b^2}{a^2 - ab - 2b^2}$

Чтобы сократить дробь, разложим на множители ее числитель и знаменатель. Оба являются однородными многочленами второй степени, их можно разложить как квадратные трехчлены.

Разложим на множители числитель $a^2 + ab - 6b^2$. Представим средний член $ab$ в виде разности $3ab - 2ab$ и применим метод группировки:

$a^2 + 3ab - 2ab - 6b^2 = a(a+3b) - 2b(a+3b) = (a-2b)(a+3b)$.

Разложим на множители знаменатель $a^2 - ab - 2b^2$. Представим средний член $-ab$ в виде разности $ab - 2ab$ и сгруппируем:

$a^2 - 2ab + ab - 2b^2 = a(a-2b) + b(a-2b) = (a-2b)(a+b)$.

Теперь подставим полученные разложения обратно в дробь:

$\frac{(a-2b)(a+3b)}{(a-2b)(a+b)}$

Сократим на общий множитель $(a-2b)$, предполагая, что $a \neq 2b$.

$\frac{a+3b}{a+b}$

Ответ: $\frac{a+3b}{a+b}$

2) $\frac{2a^2 + 5ab - 3b^2}{4a^2 + 4ab - 3b^2}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Будем рассматривать их как квадратные трехчлены относительно переменной $a$.

Для числителя $2a^2 + 5ab - 3b^2$ найдем корни уравнения $2a^2 + (5b)a - 3b^2 = 0$.

Дискриминант: $D = (5b)^2 - 4(2)(-3b^2) = 25b^2 + 24b^2 = 49b^2 = (7b)^2$.

Корни уравнения: $a_1 = \frac{-5b+7b}{2 \cdot 2} = \frac{2b}{4} = \frac{b}{2}$; $a_2 = \frac{-5b-7b}{2 \cdot 2} = \frac{-12b}{4} = -3b$.

Следовательно, разложение числителя: $2(a - \frac{b}{2})(a - (-3b)) = (2a-b)(a+3b)$.

Для знаменателя $4a^2 + 4ab - 3b^2$ найдем корни уравнения $4a^2 + (4b)a - 3b^2 = 0$.

Дискриминант: $D = (4b)^2 - 4(4)(-3b^2) = 16b^2 + 48b^2 = 64b^2 = (8b)^2$.

Корни уравнения: $a_1 = \frac{-4b+8b}{2 \cdot 4} = \frac{4b}{8} = \frac{b}{2}$; $a_2 = \frac{-4b-8b}{2 \cdot 4} = \frac{-12b}{8} = -\frac{3b}{2}$.

Следовательно, разложение знаменателя: $4(a - \frac{b}{2})(a - (-\frac{3b}{2})) = 2(a - \frac{b}{2}) \cdot 2(a + \frac{3b}{2}) = (2a-b)(2a+3b)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{(2a-b)(a+3b)}{(2a-b)(2a+3b)}$

Сократим на общий множитель $(2a-b)$, предполагая, что $2a \neq b$.

$\frac{a+3b}{2a+3b}$

Ответ: $\frac{a+3b}{2a+3b}$

3) $\frac{8a^3 + 27b^3}{2a^2 + ab - 3b^2}$

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

Числитель $8a^3 + 27b^3$ является суммой кубов, так как $8a^3 = (2a)^3$ и $27b^3 = (3b)^3$. Применим формулу суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$:

$8a^3 + 27b^3 = (2a)^3 + (3b)^3 = (2a+3b)((2a)^2 - (2a)(3b) + (3b)^2) = (2a+3b)(4a^2 - 6ab + 9b^2)$.

Знаменатель $2a^2 + ab - 3b^2$ разложим на множители, решив квадратное уравнение $2a^2 + (b)a - 3b^2 = 0$ относительно $a$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4(2)(-3b^2) = b^2 + 24b^2 = 25b^2 = (5b)^2$.

Корни уравнения: $a_1 = \frac{-b+5b}{2 \cdot 2} = \frac{4b}{4} = b$; $a_2 = \frac{-b-5b}{2 \cdot 2} = \frac{-6b}{4} = -\frac{3b}{2}$.

Следовательно, разложение знаменателя: $2(a-b)(a-(-\frac{3b}{2})) = (a-b)(2a+3b)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{(2a+3b)(4a^2 - 6ab + 9b^2)}{(a-b)(2a+3b)}$

Сократим на общий множитель $(2a+3b)$, предполагая, что $2a \neq -3b$.

$\frac{4a^2 - 6ab + 9b^2}{a-b}$

Ответ: $\frac{4a^2 - 6ab + 9b^2}{a-b}$