Номер 789, страница 273 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 789, страница 273.

Условие.

789. Какой цифрой оканчивается степень $1982^{1982}$?

Решение 4.

Чтобы найти последнюю цифру числа $1982^{1982}$, нужно проанализировать, как меняется последняя цифра при возведении в степень числа, оканчивающегося на 2. Последняя цифра выражения $1982^{1982}$ совпадает с последней цифрой выражения $2^{1982}$.

Рассмотрим последовательность последних цифр степеней числа 2:
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$ (оканчивается на 6)
$2^5 = 32$ (оканчивается на 2)
$2^6 = 64$ (оканчивается на 4)

Последние цифры степеней числа 2 образуют повторяющуюся последовательность (цикл) из четырех цифр: 2, 4, 8, 6. Длина этого цикла равна 4.

Чтобы определить, какая цифра будет последней у $2^{1982}$, нужно найти остаток от деления показателя степени 1982 на длину цикла 4.

$1982 \div 4$

Можно разделить столбиком или заметить, что $1980$ делится на 4 ($1980 = 4 \times 495$). Тогда:$1982 = 1980 + 2 = 4 \times 495 + 2$

Остаток от деления равен 2. Это означает, что последняя цифра степени $1982^{1982}$ будет такой же, как у второго члена нашего цикла.

Если остаток равен 1, последняя цифра — 2.
Если остаток равен 2, последняя цифра — 4.
Если остаток равен 3, последняя цифра — 8.
Если остаток равен 0, последняя цифра — 6.

Так как остаток равен 2, последняя цифра числа $1982^{1982}$ — это 4.

Ответ: 4