Номер 793, страница 273 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 793, страница 273.

Условие.

793. Доказать, что значение выражения $n^3 + 3n^2 + 5n + 3$ делится на 3 при любом натуральном $n$.

Решение 4.

Для того чтобы доказать, что значение выражения $n^3 + 3n^2 + 5n + 3$ делится на 3 при любом натуральном $n$, преобразуем данное выражение. Сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить те из них, которые заведомо делятся на 3:

$n^3 + 3n^2 + 5n + 3 = (n^3 + 5n) + (3n^2 + 3)$

Рассмотрим каждое слагаемое в скобках по отдельности.

Второе слагаемое, $3n^2 + 3$, можно преобразовать, вынеся 3 за скобки: $3(n^2 + 1)$. Это произведение делится на 3, так как один из его множителей равен 3.

Теперь докажем, что первое слагаемое, $n^3 + 5n$, также делится на 3. Преобразуем его, представив $5n$ как $-n + 6n$:

$n^3 + 5n = n^3 - n + 6n$

Слагаемое $6n$ делится на 3, поскольку $6n = 3 \cdot (2n)$.

Рассмотрим слагаемое $n^3 - n$. Разложим его на множители, вынеся $n$ за скобку и применив формулу разности квадратов:

$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$

Переставим множители для наглядности: $(n-1)n(n+1)$. Это выражение является произведением трех последовательных целых чисел. В любой тройке последовательных чисел одно из них обязательно кратно трем. Следовательно, их произведение всегда делится на 3.

Таким образом, мы показали, что $n^3 - n$ делится на 3. Так как $6n$ также делится на 3, то их сумма $(n^3 - n) + 6n = n^3 + 5n$ тоже делится на 3.

Вернемся к исходному выражению в преобразованном виде:

$n^3 + 3n^2 + 5n + 3 = (n^3 + 5n) + 3(n^2 + 1)$

Мы установили, что оба слагаемых в правой части равенства, $(n^3 + 5n)$ и $3(n^2 + 1)$, делятся на 3. Сумма двух чисел, кратных трем, всегда кратна трем.

Следовательно, выражение $n^3 + 3n^2 + 5n + 3$ делится на 3 при любом натуральном $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.