Страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

612. Решить систему уравнений:

1) $\begin{cases} x + y = 1 \\ xy = -6 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + 3y = 10 \\ xy = 3 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x - 2y = -7 \\ xy = -6 \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + y = -7 \\ xy = 12 \end{cases}$

5) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 200 \\ x + y = 20 \end{cases}$

6) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 9 \\ x - y = 1 \end{cases}$

7) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 41 \\ y - x = 1 \end{cases}$

8) $\begin{cases} x - y = 3 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases}$

1) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 1 \\ xy = -6 \end{cases} $
Эта система является симметричной. Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.
Подставим значения из системы:
$t^2 - (1)t + (-6) = 0$
$t^2 - t - 6 = 0$
Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.
$t_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1+5}{2} = 3$
$t_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1-5}{2} = -2$
Следовательно, решениями системы являются пары $(x, y)$, где $x$ и $y$ принимают значения $3$ и $-2$.
Это пары $(3, -2)$ и $(-2, 3)$.
Ответ: $(3, -2)$, $(-2, 3)$.

2) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + 3y = 10 \\ xy = 3 \end{cases} $
Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 10 - 3y$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(10 - 3y)y = 3$
$10y - 3y^2 = 3$
$3y^2 - 10y + 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.
$y_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10+8}{6} = \frac{18}{6} = 3$
$y_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10-8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Теперь найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = 3$, то $x_1 = 10 - 3(3) = 10 - 9 = 1$.
Если $y_2 = \frac{1}{3}$, то $x_2 = 10 - 3(\frac{1}{3}) = 10 - 1 = 9$.
Получаем две пары решений.
Ответ: $(1, 3)$, $(9, \frac{1}{3})$.

3) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - 2y = -7 \\ xy = -6 \end{cases} $
Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 2y - 7$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(2y - 7)y = -6$
$2y^2 - 7y = -6$
$2y^2 - 7y + 6 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.
$y_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7+1}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$y_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7-1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
Теперь найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2(2) - 7 = 4 - 7 = -3$.
Если $y_2 = \frac{3}{2}$, то $x_2 = 2(\frac{3}{2}) - 7 = 3 - 7 = -4$.
Получаем две пары решений.
Ответ: $(-3, 2)$, $(-4, \frac{3}{2})$.

4) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y = -7 \\ xy = 12 \end{cases} $
Эта система является симметричной. Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.
Подставим значения из системы:
$t^2 - (-7)t + 12 = 0$
$t^2 + 7t + 12 = 0$
Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.
$t_1 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-7+1}{2} = -3$
$t_2 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-7-1}{2} = -4$
Следовательно, решениями системы являются пары $(-3, -4)$ и $(-4, -3)$.
Ответ: $(-3, -4)$, $(-4, -3)$.

5) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 200 \\ x + y = 20 \end{cases} $
В первом уравнении используем формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$(x - y)(x + y) = 200$
Из второго уравнения мы знаем, что $x + y = 20$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:
$(x - y) \cdot 20 = 200$
$x - y = \frac{200}{20}$
$x - y = 10$
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 20 \\ x - y = 10 \end{cases} $
Сложим эти два уравнения: $(x+y) + (x-y) = 20 + 10$, что дает $2x = 30$, откуда $x = 15$.
Подставим $x=15$ в уравнение $x+y=20$: $15 + y = 20$, откуда $y = 5$.
Ответ: $(15, 5)$.

6) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 9 \\ x - y = 1 \end{cases} $
В первом уравнении используем формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$(x - y)(x + y) = 9$
Из второго уравнения мы знаем, что $x - y = 1$. Подставим это значение:
$1 \cdot (x + y) = 9$
$x + y = 9$
Теперь решаем систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 9 \\ x - y = 1 \end{cases} $
Сложим эти два уравнения: $(x+y) + (x-y) = 9 + 1$, что дает $2x = 10$, откуда $x = 5$.
Подставим $x=5$ в уравнение $x+y=9$: $5 + y = 9$, откуда $y = 4$.
Ответ: $(5, 4)$.

7) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 41 \\ y - x = 1 \end{cases} $
Используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $y$:
$y = x + 1$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 + (x + 1)^2 = 41$
$x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 41$
$2x^2 + 2x + 1 = 41$
$2x^2 + 2x - 40 = 0$
Разделим обе части на 2: $x^2 + x - 20 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. Можно разложить на множители: $(x+5)(x-4) = 0$.
Корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = 4$.
Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = -5$, то $y_1 = -5 + 1 = -4$.
Если $x_2 = 4$, то $y_2 = 4 + 1 = 5$.
Получаем две пары решений.
Ответ: $(-5, -4)$, $(4, 5)$.

8) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 3 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} $
Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = y + 3$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(y + 3)^2 + y^2 = 5$
$(y^2 + 6y + 9) + y^2 = 5$
$2y^2 + 6y + 9 = 5$
$2y^2 + 6y + 4 = 0$
Разделим обе части на 2: $y^2 + 3y + 2 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. Можно разложить на множители: $(y+1)(y+2) = 0$.
Корни: $y_1 = -1$ и $y_2 = -2$.
Найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = -1$, то $x_1 = -1 + 3 = 2$.
Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2 + 3 = 1$.
Получаем две пары решений.
Ответ: $(2, -1)$, $(1, -2)$.

Решить уравнение (613—615).

613.

1) $3x(x-2)=x-4;$

2) $\frac{x^2-2}{6} - \frac{1-x}{2} = \frac{x-5}{6}.$

1) $3x(x-2)=x-4$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:

$3x \cdot x - 3x \cdot 2 = x - 4$

$3x^2 - 6x = x - 4$

Затем перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы привести его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$3x^2 - 6x - x + 4 = 0$

$3x^2 - 7x + 4 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=3$, $b=-7$, $c=4$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$

Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Ответ: $1; \frac{4}{3}$.

2) $\frac{x^2-2}{6} - \frac{1-x}{2} = \frac{x-5}{6}$

Для решения этого дробно-рационального уравнения умножим обе его части на наименьший общий знаменатель, который равен 6, чтобы избавиться от дробей:

$6 \cdot \left(\frac{x^2-2}{6} - \frac{1-x}{2}\right) = 6 \cdot \frac{x-5}{6}$

$6 \cdot \frac{x^2-2}{6} - 6 \cdot \frac{1-x}{2} = x-5$

$(x^2 - 2) - 3(1-x) = x-5$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 2 - 3 + 3x = x-5$

$x^2 + 3x - 5 = x-5$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$x^2 + 3x - x - 5 + 5 = 0$

$x^2 + 2x = 0$

Получили неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x+2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, имеем два случая:

$x = 0$

или

$x+2=0 \implies x = -2$

Ответ: $-2; 0$.

614. 1) $2x(x - 2) = (x + 1)^2 - 9;$

2) $5x(x - 4) = (x - 8)^2 - 65;$

3) $\frac{(x + 2)^2}{3} - \frac{(x + 1)^2}{2} = 1;$

4) $\frac{(x - 1)^2}{4} - \frac{(x - 2)^2}{5} = 4.$

1) $2x(x - 2) = (x + 1)^2 - 9$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части умножим $2x$ на $(x-2)$, а в правой части воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

$2x^2 - 4x = (x^2 + 2x + 1) - 9$

$2x^2 - 4x = x^2 + 2x - 8$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$.

$2x^2 - x^2 - 4x - 2x + 8 = 0$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней через дискриминант.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: $x_1 = 4, x_2 = 2$.

2) $5x(x - 4) = (x - 8)^2 - 65$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В правой части воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$5x^2 - 20x = (x^2 - 16x + 64) - 65$

$5x^2 - 20x = x^2 - 16x - 1$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые.

$5x^2 - x^2 - 20x + 16x + 1 = 0$

$4x^2 - 4x + 1 = 0$

Заметим, что левая часть является полным квадратом разности: $(2x - 1)^2 = 0$.

$2x - 1 = 0$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

3) $\frac{(x + 2)^2}{3} - \frac{(x + 1)^2}{2} = 1$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 2, то есть на 6.

$6 \cdot \frac{(x + 2)^2}{3} - 6 \cdot \frac{(x + 1)^2}{2} = 6 \cdot 1$

$2(x + 2)^2 - 3(x + 1)^2 = 6$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы.

$2(x^2 + 4x + 4) - 3(x^2 + 2x + 1) = 6$

$2x^2 + 8x + 8 - 3x^2 - 6x - 3 = 6$

Приведем подобные слагаемые в левой части.

$-x^2 + 2x + 5 = 6$

Перенесем 6 в левую часть.

$-x^2 + 2x + 5 - 6 = 0$

$-x^2 + 2x - 1 = 0$

Умножим обе части на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным.

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Левая часть является полным квадратом разности: $(x - 1)^2 = 0$.

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Ответ: $x = 1$.

4) $\frac{(x - 1)^2}{4} - \frac{(x - 2)^2}{5} = 4$

Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 5, то есть на 20.

$20 \cdot \frac{(x - 1)^2}{4} - 20 \cdot \frac{(x - 2)^2}{5} = 20 \cdot 4$

$5(x - 1)^2 - 4(x - 2)^2 = 80$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности.

$5(x^2 - 2x + 1) - 4(x^2 - 4x + 4) = 80$

$5x^2 - 10x + 5 - 4x^2 + 16x - 16 = 80$

Приведем подобные слагаемые в левой части.

$x^2 + 6x - 11 = 80$

Перенесем 80 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение.

$x^2 + 6x - 11 - 80 = 0$

$x^2 + 6x - 91 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-91) = 36 + 364 = 400$

$\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$

Найдем корни уравнения.

$x_1 = \frac{-6 + 20}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-6 - 20}{2 \cdot 1} = \frac{-26}{2} = -13$

Ответ: $x_1 = 7, x_2 = -13$.

615. 1) $(x-5)(x-6)=30$;

2) $(x+2)(x+3)=6$;

3) $(x-1)(x-4)=3x$;

4) $(x-2)(x+8)=6x$.

1) $(x-5)(x-6)=30$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x^2 - 6x - 5x + 30 = 30$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 11x + 30 = 30$

Перенесем 30 из правой части в левую:

$x^2 - 11x + 30 - 30 = 0$

$x^2 - 11x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x-11) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x-11=0$

$x_2 = 11$

Ответ: $0; 11$.

2) $(x+2)(x+3)=6$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x^2 + 3x + 2x + 6 = 6$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 5x + 6 = 6$

Перенесем 6 из правой части в левую:

$x^2 + 5x + 6 - 6 = 0$

$x^2 + 5x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x+5) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x+5=0$

$x_2 = -5$

Ответ: $-5; 0$.

3) $(x-1)(x-4)=3x$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x^2 - 4x - x + 4 = 3x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x^2 - 5x + 4 = 3x$

Перенесем $3x$ из правой части в левую, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 5x - 3x + 4 = 0$

$x^2 - 8x + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

Здесь $a=1, b=-8, c=4$.

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 64 - 16 = 48$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$

$x = \frac{-(-8) \pm 4\sqrt{3}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2}$

Разделим числитель на 2:

$x_1 = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{2} = 4 + 2\sqrt{3}$

$x_2 = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{2} = 4 - 2\sqrt{3}$

Ответ: $4 - 2\sqrt{3}; 4 + 2\sqrt{3}$.

4) $(x-2)(x+8)=6x$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x^2 + 8x - 2x - 16 = 6x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x^2 + 6x - 16 = 6x$

Перенесем $6x$ из правой части в левую:

$x^2 + 6x - 6x - 16 = 0$

$x^2 - 16 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем 16 в правую часть:

$x^2 = 16$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{16}$

$x_1 = 4$, $x_2 = -4$

Ответ: $-4; 4$.

616. При каких значениях x выражение $x^2 + 3x - 88$ принимает значение, равное:

1) 0;

2) 20;

3) -18;

4) -70?

Для решения задачи необходимо для каждого случая приравнять выражение $x^2+3x-88$ к заданному значению и решить полученное квадратное уравнение.

1) Найдем значения $x$, при которых выражение равно 0.

Составим уравнение:

$x^2+3x-88 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$, где $a=1, b=3, c=-88$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-88) = 9 + 352 = 361$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{361} = 19$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-3 + 19}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-3 - 19}{2 \cdot 1} = \frac{-22}{2} = -11$

Ответ: $-11; 8$.

2) Найдем значения $x$, при которых выражение равно 20.

Составим уравнение:

$x^2+3x-88 = 20$

Перенесем 20 в левую часть уравнения, чтобы привести его к стандартному виду:

$x^2+3x-88-20 = 0$

$x^2+3x-108 = 0$

Коэффициенты: $a=1, b=3, c=-108$.

Вычислим дискриминант:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441$

$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-3 + 21}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-3 - 21}{2 \cdot 1} = \frac{-24}{2} = -12$

Ответ: $-12; 9$.

3) Найдем значения $x$, при которых выражение равно -18.

Составим уравнение:

$x^2+3x-88 = -18$

Перенесем -18 в левую часть:

$x^2+3x-88+18 = 0$

$x^2+3x-70 = 0$

Коэффициенты: $a=1, b=3, c=-70$.

Вычислим дискриминант:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289$

$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-3 + 17}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-3 - 17}{2 \cdot 1} = \frac{-20}{2} = -10$

Ответ: $-10; 7$.

4) Найдем значения $x$, при которых выражение равно -70.

Составим уравнение:

$x^2+3x-88 = -70$

Перенесем -70 в левую часть:

$x^2+3x-88+70 = 0$

$x^2+3x-18 = 0$

Коэффициенты: $a=1, b=3, c=-18$.

Вычислим дискриминант:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$

$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-3 + 9}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-3 - 9}{2 \cdot 1} = \frac{-12}{2} = -6$

Ответ: $-6; 3$.

617. Сколько действительных корней имеет квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, если:

1) $a=3$, $b=1$, $c=-4$;

2) $a=5$, $b=2$, $c=3$;

3) $a=25$, $b=-10$, $c=1$;

4) $a=1$, $b=0$, $c=-25$?

Чтобы определить количество действительных корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, необходимо вычислить его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$. Количество корней зависит от знака дискриминанта:

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет ровно один действительный корень (или два совпадающих корня).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

1) При $a=3$, $b=1$, $c=-4$ дискриминант равен:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 - (-48) = 1 + 48 = 49$.
Поскольку $D = 49 > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Ответ: 2 корня.

2) При $a=5$, $b=2$, $c=3$ дискриминант равен:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 4 - 60 = -56$.
Поскольку $D = -56 < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: 0 корней.

3) При $a=25$, $b=-10$, $c=1$ дискриминант равен:
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 1 = 100 - 100 = 0$.
Поскольку $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень.
Ответ: 1 корень.

4) При $a=1$, $b=0$, $c=-25$ дискриминант равен:
$D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 0 - (-100) = 100$.
Поскольку $D = 100 > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Ответ: 2 корня.

618. При каких значениях x значения данных выражений равны:

1) $\frac{9}{2x+2} + \frac{x}{x-1}$ и $\frac{1-3x}{2-2x}$;

2) $\frac{3}{x^2-1} - \frac{1}{2}$ и $\frac{3}{2x-2}$;

3) $\frac{2}{x^2-4}$ и $\frac{1}{x-2} - \frac{x-4}{x^2+2x}$;

4) $\frac{x-2}{x^2-x}$ и $\frac{2}{x^2-1} - \frac{1}{x^2+x}$?

1) Чтобы найти значения $x$, при которых значения выражений равны, приравняем их:
$\frac{9}{2x+2} + \frac{x}{x-1} = \frac{1-3x}{2-2x}$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:
$2x+2 \ne 0 \Rightarrow 2(x+1) \ne 0 \Rightarrow x \ne -1$
$x-1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$
$2-2x \ne 0 \Rightarrow 2(1-x) \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$
ОДЗ: $x \ne -1$ и $x \ne 1$.
Преобразуем уравнение. В знаменателе правой части вынесем $-1$ за скобки:
$\frac{9}{2(x+1)} + \frac{x}{x-1} = \frac{1-3x}{-2(x-1)}$
$\frac{9}{2(x+1)} + \frac{x}{x-1} = \frac{3x-1}{2(x-1)}$
Приведем дроби к общему знаменателю $2(x+1)(x-1)$:
$\frac{9(x-1)}{2(x+1)(x-1)} + \frac{x \cdot 2(x+1)}{2(x+1)(x-1)} = \frac{(3x-1)(x+1)}{2(x-1)(x+1)}$
Так как знаменатели равны и не равны нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числители:
$9(x-1) + 2x(x+1) = (3x-1)(x+1)$
$9x - 9 + 2x^2 + 2x = 3x^2 + 3x - x - 1$
$2x^2 + 11x - 9 = 3x^2 + 2x - 1$
Перенесем все члены в правую часть:
$3x^2 - 2x^2 + 2x - 11x - 1 + 9 = 0$
$x^2 - 9x + 8 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 9$
$x_1 \cdot x_2 = 8$
Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 8$.
Проверим корни по ОДЗ ($x \ne -1$ и $x \ne 1$). Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $x_2 = 8$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $8$.

2) Приравняем выражения:
$\frac{3}{x^2-1} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2x-2}$
ОДЗ:
$x^2-1 \ne 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$ и $x \ne -1$
$2x-2 \ne 0 \Rightarrow 2(x-1) \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$
ОДЗ: $x \ne 1$ и $x \ne -1$.
Преобразуем уравнение, разложив знаменатели на множители:
$\frac{3}{(x-1)(x+1)} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2(x-1)}$
Общий знаменатель $2(x-1)(x+1)$. Умножим обе части уравнения на него:
$3 \cdot 2 - 1 \cdot (x-1)(x+1) = 3 \cdot (x+1)$
$6 - (x^2-1) = 3x+3$
$6 - x^2 + 1 = 3x+3$
$7 - x^2 = 3x+3$
$x^2 + 3x + 3 - 7 = 0$
$x^2 + 3x - 4 = 0$
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -3$
$x_1 \cdot x_2 = -4$
Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -4$.
Проверим корни по ОДЗ ($x \ne 1$ и $x \ne -1$). Корень $x_1 = 1$ является посторонним. Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-4$.

3) Приравняем выражения:
$\frac{2}{x^2-4} = \frac{1}{x-2} - \frac{x-4}{x^2+2x}$
ОДЗ:
$x^2-4 \ne 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) \ne 0 \Rightarrow x \ne 2$ и $x \ne -2$
$x-2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 2$
$x^2+2x \ne 0 \Rightarrow x(x+2) \ne 0 \Rightarrow x \ne 0$ и $x \ne -2$
ОДЗ: $x \ne 0$, $x \ne 2$, $x \ne -2$.
Разложим знаменатели на множители:
$\frac{2}{(x-2)(x+2)} = \frac{1}{x-2} - \frac{x-4}{x(x+2)}$
Общий знаменатель $x(x-2)(x+2)$. Умножим обе части уравнения на него:
$2x = 1 \cdot x(x+2) - (x-4)(x-2)$
$2x = x^2+2x - (x^2 - 2x - 4x + 8)$
$2x = x^2+2x - (x^2 - 6x + 8)$
$2x = x^2+2x - x^2 + 6x - 8$
$2x = 8x - 8$
$8 = 6x$
$x = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
Корень $x = \frac{4}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

4) Приравняем выражения:
$\frac{x-2}{x^2-x} = \frac{2}{x^2-1} - \frac{1}{x^2+x}$
ОДЗ:
$x^2-x \ne 0 \Rightarrow x(x-1) \ne 0 \Rightarrow x \ne 0$ и $x \ne 1$
$x^2-1 \ne 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$ и $x \ne -1$
$x^2+x \ne 0 \Rightarrow x(x+1) \ne 0 \Rightarrow x \ne 0$ и $x \ne -1$
ОДЗ: $x \ne 0$, $x \ne 1$, $x \ne -1$.
Разложим знаменатели на множители:
$\frac{x-2}{x(x-1)} = \frac{2}{(x-1)(x+1)} - \frac{1}{x(x+1)}$
Общий знаменатель $x(x-1)(x+1)$. Умножим обе части уравнения на него:
$(x-2)(x+1) = 2x - 1(x-1)$
$x^2 + x - 2x - 2 = 2x - x + 1$
$x^2 - x - 2 = x + 1$
$x^2 - x - x - 2 - 1 = 0$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 2$
$x_1 \cdot x_2 = -3$
Корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.
Проверим корни по ОДЗ ($x \ne 0$, $x \ne 1$, $x \ne -1$). Корень $x_2 = -1$ является посторонним. Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $3$.

619. Упростить выражение:

1) $(x - 10) \cdot \left( \frac{x+3}{x^2 - 7x - 30} + \frac{x+4}{x^2 - 6x - 40} \right);$

2) $\left( \frac{x-1}{2x^2 + 3x - 5} - \frac{x+1}{3x^2 + 4x + 1} \right) \cdot (6x^2 + 17x + 5).$

1) $(x-10) \cdot \left(\frac{x+3}{x^2 - 7x - 30} + \frac{x+4}{x^2 - 6x - 40}\right)$

Сначала разложим на множители знаменатели дробей в скобках. Для этого решим квадратные уравнения $x^2 - 7x - 30 = 0$ и $x^2 - 6x - 40 = 0$.

Для первого уравнения $x^2 - 7x - 30 = 0$:
По теореме Виета, ищем два числа, произведение которых равно $-30$, а сумма равна $7$. Это числа $10$ и $-3$.
Следовательно, $x^2 - 7x - 30 = (x-10)(x+3)$.

Для второго уравнения $x^2 - 6x - 40 = 0$:
По теореме Виета, ищем два числа, произведение которых равно $-40$, а сумма равна $6$. Это числа $10$ и $-4$.
Следовательно, $x^2 - 6x - 40 = (x-10)(x+4)$.

Подставим разложенные знаменатели обратно в выражение:

$(x-10) \cdot \left(\frac{x+3}{(x-10)(x+3)} + \frac{x+4}{(x-10)(x+4)}\right)$

Сократим дроби в скобках (при условии, что $x+3 \neq 0$ и $x+4 \neq 0$):

$(x-10) \cdot \left(\frac{1}{x-10} + \frac{1}{x-10}\right)$

Сложим дроби в скобках:

$(x-10) \cdot \left(\frac{1+1}{x-10}\right) = (x-10) \cdot \frac{2}{x-10}$

Сократим $(x-10)$ (при условии, что $x-10 \neq 0$):

$\frac{2(x-10)}{x-10} = 2$

Ответ: $2$

2) $\left(\frac{x-1}{2x^2 + 3x - 5} - \frac{x+1}{3x^2 + 4x + 1}\right) \cdot (6x^2 + 17x + 5)$

Разложим на множители все квадратные трехчлены.

1. $2x^2 + 3x - 5$
Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$.
Дискриминант $D = 3^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{-3+7}{4} = 1$
$x_2 = \frac{-3-7}{4} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2}$
Следовательно, $2x^2 + 3x - 5 = 2(x-1)(x+\frac{5}{2}) = (x-1)(2x+5)$.

2. $3x^2 + 4x + 1$
Найдем корни уравнения $3x^2 + 4x + 1 = 0$.
$D = 4^2 - 4(3)(1) = 16 - 12 = 4 = 2^2$.
$x_1 = \frac{-4+2}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-4-2}{6} = -1$
Следовательно, $3x^2 + 4x + 1 = 3(x+\frac{1}{3})(x+1) = (3x+1)(x+1)$.

3. $6x^2 + 17x + 5$
Найдем корни уравнения $6x^2 + 17x + 5 = 0$.
$D = 17^2 - 4(6)(5) = 289 - 120 = 169 = 13^2$.
$x_1 = \frac{-17+13}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-17-13}{12} = -\frac{30}{12} = -\frac{5}{2}$
Следовательно, $6x^2 + 17x + 5 = 6(x+\frac{1}{3})(x+\frac{5}{2}) = 3(x+\frac{1}{3}) \cdot 2(x+\frac{5}{2}) = (3x+1)(2x+5)$.

Подставим разложенные многочлены в исходное выражение:

$\left(\frac{x-1}{(x-1)(2x+5)} - \frac{x+1}{(3x+1)(x+1)}\right) \cdot (3x+1)(2x+5)$

Сократим дроби в скобках:

$\left(\frac{1}{2x+5} - \frac{1}{3x+1}\right) \cdot (3x+1)(2x+5)$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(2x+5)(3x+1)$ и выполним вычитание:

$\left(\frac{3x+1}{(2x+5)(3x+1)} - \frac{2x+5}{(2x+5)(3x+1)}\right) \cdot (3x+1)(2x+5)$

$\left(\frac{(3x+1)-(2x+5)}{(2x+5)(3x+1)}\right) \cdot (3x+1)(2x+5)$

$\frac{3x+1-2x-5}{(2x+5)(3x+1)} \cdot (3x+1)(2x+5)$

$\frac{x-4}{(2x+5)(3x+1)} \cdot (3x+1)(2x+5)$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$x-4$

Ответ: $x-4$