Страница 243 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Каким способом решается система уравнений в задаче 1? Пояснить суть этого способа.

Поскольку сама система уравнений из "задачи 1" не предоставлена, ответ будет содержать описание одного из наиболее общих и эффективных методов — метода алгебраического сложения, который часто используется для решения систем линейных уравнений.

Каким способом решается система уравнений в задаче 1?

Система уравнений, вероятнее всего, решается способом алгебраического сложения (также известным как метод сложения).

Пояснить суть этого способа.

Суть метода алгебраического сложения состоит в том, чтобы исключить одну из переменных путем преобразования и последующего почленного сложения уравнений системы. Цель преобразований — добиться того, чтобы коэффициенты при одной из переменных в обоих уравнениях стали противоположными числами (например, $3y$ и $-3y$). При сложении таких уравнений слагаемые с этой переменной взаимно уничтожаются, что приводит к одному уравнению с одной переменной, которое легко решается.

Алгоритм решения системы методом сложения:

1. Выбрать переменную для исключения и, если необходимо, умножить одно или оба уравнения системы на такие числовые множители, чтобы коэффициенты при этой переменной стали противоположными числами.
2. Сложить левые и правые части полученных уравнений.
3. Решить получившееся линейное уравнение с одной переменной.
4. Подставить найденное значение переменной в любое из исходных уравнений системы и найти значение второй переменной.
5. Записать ответ в виде пары чисел.

Пример:

Рассмотрим систему уравнений:

Допустим, мы хотим исключить переменную $x$. Для этого умножим первое уравнение на $3$, а второе на $-2$, чтобы коэффициенты при $x$ стали $6$ и $-6$.

Получим новую систему:

Теперь сложим уравнения почленно:

Отсюда находим $y$:

Подставим найденное значение $y = 1$ в первое исходное уравнение:

Решением системы является пара чисел $(2; 1)$.

Ответ: Система уравнений в задаче 1 решается способом алгебраического сложения. Суть этого способа заключается в том, чтобы с помощью умножения уравнений на числа сделать коэффициенты при одной из переменных противоположными. Затем уравнения складываются, что позволяет исключить эту переменную и найти значение второй. После этого, подставив найденное значение в одно из исходных уравнений, вычисляют значение первой переменной.

2. Каким способом решается система уравнений в задаче 2? Пояснить суть этого способа.

Поскольку текст "задачи 2" не предоставлен, невозможно однозначно сказать, какой именно способ был использован для решения системы уравнений. Однако, можно описать основные алгебраические методы, которые обычно применяются для таких задач: способ подстановки и способ сложения.

Способ подстановки

Суть этого способа заключается в том, чтобы из одного уравнения системы выразить одну переменную через другую и подставить это выражение во второе уравнение. Это позволяет свести систему из двух уравнений с двумя переменными к одному уравнению с одной переменной. Алгоритм действий следующий: 1. Выразить одну переменную из любого уравнения системы через другую. Например, из уравнения $x + 2y = 5$ можно выразить $x$ как $x = 5 - 2y$. 2. Подставить полученное выражение в другое уравнение системы, что исключит одну из переменных. 3. Решить получившееся уравнение с одной переменной. 4. Найденное значение подставить в выражение, полученное на первом шаге, и вычислить значение второй переменной.

Ответ: Суть способа подстановки состоит в выражении одной переменной через другую из одного уравнения и подстановке этого выражения в другое уравнение для нахождения решения.

Способ сложения (или вычитания)

Суть этого способа заключается в алгебраическом сложении (или вычитании) уравнений системы для того, чтобы исключить одну из переменных. Алгоритм действий следующий: 1. При необходимости умножить одно или оба уравнения системы на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами (например, $3x$ и $-3x$) или равными. 2. Сложить (если коэффициенты противоположны) или вычесть (если коэффициенты равны) уравнения почленно, что приведет к уравнению с одной переменной. 3. Решить это уравнение. 4. Подставить найденное значение переменной в любое из исходных уравнений и найти значение второй переменной. Например, для системы $ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x - 3y = 5 \end{cases} $ коэффициенты при $y$ уже противоположны. Можно сразу сложить уравнения: $(2x + 4x) + (3y - 3y) = 7 + 5$, что дает $6x = 12$, откуда $x = 2$.

Ответ: Суть способа сложения состоит в преобразовании уравнений системы так, чтобы при их почленном сложении или вычитании одна из переменных исключалась, что позволяет найти вторую переменную, а затем и первую.

3. Что означает в задаче 3 выражение $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$?

3.

Данное выражение типично для задач на совместную работу. Чтобы понять его смысл, необходимо рассмотреть, что означает каждая его часть в контексте такой задачи.

Предположим, у нас есть некоторая работа (например, покраска забора, наполнение бассейна, печать рукописи), объем которой принимается за 1 (единицу).

Пусть $x$ — это время, за которое первый участник (работник, труба, принтер и т.д.) выполняет всю работу в одиночку. Например, если первый маляр красит весь забор за $x=10$ часов.

Тогда величина $\frac{1}{x}$ представляет собой производительность первого участника. Это та доля работы, которую он выполняет за одну единицу времени. В нашем примере с маляром, его производительность составит $\frac{1}{10}$ забора в час.

Аналогично, пусть $y$ — это время, за которое второй участник выполняет всю ту же работу в одиночку. Например, если второй маляр красит забор за $y=15$ часов.

Тогда величина $\frac{1}{y}$ — это производительность второго участника. В нашем примере она составит $\frac{1}{15}$ забора в час.

Когда участники работают вместе, их производительности складываются. Следовательно, сумма их производительностей показывает, какую долю работы они выполняют вместе за одну единицу времени.

Таким образом, выражение $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ — это совместная производительность двух участников. Она показывает, какую часть всей работы они выполняют вместе за одну единицу времени.

Ответ: Выражение $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ означает совместную производительность, то есть долю работы, выполняемую двумя объектами (работниками, трубами и т.п.) за единицу времени при их совместной работе.

III Записать в виде равенства взаимосвязь данных величин (1–4).

1. Произведение чисел $y$ и $x$ на 5 больше их суммы.

1. Чтобы записать данное условие в виде равенства, разберем его по частям.
- "Произведение чисел $y$ и $x$" — это результат умножения этих чисел, который записывается как $y \cdot x$ или просто $yx$.
- "Их сумма" — это результат сложения этих чисел, который записывается как $y + x$.
- Условие "произведение ... на 5 больше их суммы" означает, что если из большей величины (произведения) вычесть меньшую величину (сумму), то получится 5.
Таким образом, мы можем записать разность: $yx - (y + x) = 5$
Альтернативно, это же условие можно выразить так: чтобы уравнять произведение и сумму, к меньшей величине (сумме) нужно прибавить 5.
Запишем это в виде равенства: $yx = y + x + 5$
Оба полученных равенства эквивалентны и являются верным решением.

Ответ: $yx = y + x + 5$

2. Двузначное число, содержащее $x$ десятков и $y$ единиц, на 36 больше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке.

Пусть искомое двузначное число содержит $x$ десятков и $y$ единиц. В алгебраической форме это число можно записать как $10x + y$. Поскольку число двузначное, $x$ — это цифра от 1 до 9, а $y$ — это цифра от 0 до 9.

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет содержать $y$ десятков и $x$ единиц. Его алгебраическая форма — $10y + x$.

По условию задачи, исходное число на 36 больше числа, записанного в обратном порядке. Это можно выразить следующим уравнением:$(10x + y) - (10y + x) = 36$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти зависимость между $x$ и $y$:
1. Раскроем скобки:
$10x + y - 10y - x = 36$
2. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(10x - x) + (y - 10y) = 36$
$9x - 9y = 36$
3. Вынесем общий множитель 9 за скобку:
$9(x - y) = 36$
4. Разделим обе части уравнения на 9:
$x - y = 4$

Таким образом, мы получили уравнение, которое связывает количество десятков $x$ и количество единиц $y$ в исходном числе. Разность между цифрой десятков и цифрой единиц равна 4.

Ответ: $x - y = 4$.