Страница 246 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить уравнение (596–598).

1) $x^2 - 12 = 0$;

2) $x^2 - 50 = 0$;

3) $\frac{1}{3}x^2 + 2x = 0$;

4) $3x - \frac{2}{5}x^2 = 0$.

1) $x^2 - 12 = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2+c=0$. Для его решения перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$x^2 = 12$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Следует помнить, что корень может быть как положительным, так и отрицательным:

$x = \pm\sqrt{12}$

Упростим полученный корень, разложив подкоренное выражение на множители:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

Таким образом, уравнение имеет два корня:

$x_1 = 2\sqrt{3}$ и $x_2 = -2\sqrt{3}$

Ответ: $\pm2\sqrt{3}$

2) $x^2 - 50 = 0$

Это также неполное квадратное уравнение. Решим его аналогично предыдущему. Перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 = 50$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{50}$

Упростим корень, вынеся множитель из-под знака корня:

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

Следовательно, корни уравнения:

$x_1 = 5\sqrt{2}$ и $x_2 = -5\sqrt{2}$

Ответ: $\pm5\sqrt{2}$

3) $\frac{1}{3}x^2 + 2x = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2+bx=0$. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(\frac{1}{3}x + 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x_1 = 0$

или

$\frac{1}{3}x + 2 = 0$

Решим второе простое линейное уравнение:

$\frac{1}{3}x = -2$

Умножим обе части на 3, чтобы найти $x$:

$x_2 = -2 \cdot 3 = -6$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-6; 0$

4) $3x - \frac{2}{5}x^2 = 0$

Это также неполное квадратное уравнение, в котором свободный член равен нулю. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(3 - \frac{2}{5}x) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$

или

$3 - \frac{2}{5}x = 0$

Решим второе уравнение:

$-\frac{2}{5}x = -3$

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$\frac{2}{5}x = 3$

Чтобы найти $x$, умножим обе части на число, обратное коэффициенту при $x$, то есть на $\frac{5}{2}$:

$x_2 = 3 \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $0; 7.5$

597. 1) $x^2 + 4x - 45 = 0;$

2) $x^2 - 9x - 52 = 0;$

3) $3x^2 - 7x - 40 = 0;$

4) $5x^2 + 17x - 126 = 0.$

1) $x^2+4x-45=0$

Для решения данного квадратного уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ воспользуемся формулой корней через дискриминант. Здесь коэффициенты: $a=1$, $b=4$, $c=-45$.

Сначала вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдём корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$.

Теперь найдём корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-4 + 14}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$.

$x_2 = \frac{-4 - 14}{2 \cdot 1} = \frac{-18}{2} = -9$.

Ответ: $x_1 = 5, x_2 = -9$.

2) $x^2-9x-52=0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-9$, $c=-52$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-52) = 81 + 208 = 289$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.

Найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-9) + 17}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 17}{2} = \frac{26}{2} = 13$.

$x_2 = \frac{-(-9) - 17}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 17}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

Ответ: $x_1 = 13, x_2 = -4$.

3) $3x^2-7x-40=0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=3$, $b=-7$, $c=-40$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 49 + 480 = 529$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{529} = 23$.

Найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) + 23}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 23}{6} = \frac{30}{6} = 5$.

$x_2 = \frac{-(-7) - 23}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 23}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$.

Ответ: $x_1 = 5, x_2 = -\frac{8}{3}$.

4) $5x^2+17x-126=0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=5$, $b=17$, $c=-126$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 17^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-126) = 289 + 2520 = 2809$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2809} = 53$.

Найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-17 + 53}{2 \cdot 5} = \frac{36}{10} = \frac{18}{5}$.

$x_2 = \frac{-17 - 53}{2 \cdot 5} = \frac{-70}{10} = -7$.

Ответ: $x_1 = \frac{18}{5}, x_2 = -7$.

598. 1) $4x^2 - 2x - 3 = 0;$

2) $9x^2 - 3x - 4 = 0;$

3) $4x^2 - 8x - 1 = 0;$

4) $3x^2 + 4x - 1 = 0.$

1) Решим квадратное уравнение $4x^2 - 2x - 3 = 0$.

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны: $a = 4$, $b = -2$, $c = -3$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 4 - (-48) = 4 + 48 = 52$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 4} = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 13}}{8} = \frac{2 \pm 2\sqrt{13}}{8}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{4}$.

Ответ: $x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{4}$.

2) Решим квадратное уравнение $9x^2 - 3x - 4 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a = 9$, $b = -3$, $c = -4$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 9 - (-144) = 9 + 144 = 153$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{153}}{2 \cdot 9} = \frac{3 \pm \sqrt{9 \cdot 17}}{18} = \frac{3 \pm 3\sqrt{17}}{18}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{6}$.

Ответ: $x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{6}$.

3) Решим квадратное уравнение $4x^2 - 8x - 1 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a = 4$, $b = -8$, $c = -1$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 64 - (-16) = 64 + 16 = 80$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 4} = \frac{8 \pm \sqrt{16 \cdot 5}}{8} = \frac{8 \pm 4\sqrt{5}}{8}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$x = \frac{2 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $x = \frac{2 \pm \sqrt{5}}{2}$.

4) Решим квадратное уравнение $3x^2 + 4x - 1 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = 4$, $c = -1$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16 - (-12) = 16 + 12 = 28$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 \pm \sqrt{4 \cdot 7}}{6} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{6}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{7}}{3}$.

Ответ: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{7}}{3}$.

599. Не решая уравнения, определить, сколько действительных корней оно имеет:

1) $x^2 - 5x + 6 = 0;$

2) $5x^2 + 7x - 8 = 0;$

3) $25x^2 - 10x + 1 = 0;$

4) $9x^2 + 30x + 25 = 0.$

Чтобы определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, не решая его, нужно вычислить значение дискриминанта $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.

В зависимости от знака дискриминанта можно сделать вывод о количестве корней:

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет ровно один действительный корень (или два равных корня).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

1) $x^2 - 5x + 6 = 0$;

Определим коэффициенты данного уравнения: $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$.

Теперь вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

Так как дискриминант $D = 1$ положителен ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня.

Ответ: 2 действительных корня.

2) $5x^2 + 7x - 8 = 0$;

Определим коэффициенты: $a = 5$, $b = 7$, $c = -8$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 49 + 160 = 209$.

Так как дискриминант $D = 209$ положителен ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня.

Ответ: 2 действительных корня.

3) $25x^2 - 10x + 1 = 0$;

Определим коэффициенты: $a = 25$, $b = -10$, $c = 1$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 1 = 100 - 100 = 0$.

Так как дискриминант $D = 0$, уравнение имеет ровно один действительный корень.

Ответ: 1 действительный корень.

4) $9x^2 + 30x + 25 = 0$.

Определим коэффициенты: $a = 9$, $b = 30$, $c = 25$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 30^2 - 4 \cdot 9 \cdot 25 = 900 - 900 = 0$.

Так как дискриминант $D = 0$, уравнение имеет ровно один действительный корень.

Ответ: 1 действительный корень.

600. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

1) $x^2 + 12x + 30;$

2) $x^2 - 10x + 16;$

3) $2x^2 + x - 1;$

4) $2x^2 - 3x - 2.$

1) Чтобы разложить на множители квадратный трёхчлен $x^2+12x+30$, нужно найти корни соответствующего квадратного уравнения $x^2+12x+30=0$.

Для разложения квадратного трёхчлена вида $ax^2+bx+c$ на множители используется формула $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2+bx+c=0$.

В нашем случае коэффициенты: $a=1$, $b=12$, $c=30$.

Найдём корни уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 144 - 120 = 24$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 \pm \sqrt{4 \cdot 6}}{2} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -6 \pm \sqrt{6}$.

Корни уравнения: $x_1 = -6 + \sqrt{6}$ и $x_2 = -6 - \sqrt{6}$.

Подставим найденные корни в формулу разложения:

$x^2+12x+30 = 1 \cdot (x - (-6+\sqrt{6}))(x - (-6-\sqrt{6})) = (x+6-\sqrt{6})(x+6+\sqrt{6})$.

Ответ: $(x+6-\sqrt{6})(x+6+\sqrt{6})$.

2) Разложим на множители трёхчлен $x^2 - 10x + 16$. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 - 10x + 16 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-10$, $c=16$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36$.

Найдём корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-(-10) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 6}{2}$.

$x_1 = \frac{10+6}{2} = 8$.

$x_2 = \frac{10-6}{2} = 2$.

(Также можно было найти корни по теореме Виета: их сумма равна $10$, а произведение $16$, что соответствует числам $2$ и $8$.)

Применим формулу разложения $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$x^2-10x+16 = 1 \cdot (x-8)(x-2) = (x-2)(x-8)$.

Ответ: $(x-2)(x-8)$.

3) Разложим на множители трёхчлен $2x^2 + x - 1$. Для этого решим квадратное уравнение $2x^2 + x - 1=0$.

Коэффициенты: $a=2$, $b=1$, $c=-1$.

Вычислим дискриминант:

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Найдём корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4}$.

$x_1 = \frac{-1+3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$x_2 = \frac{-1-3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.

Применим формулу разложения $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$2x^2+x-1 = 2(x - \frac{1}{2})(x - (-1)) = 2(x - \frac{1}{2})(x+1)$.

Для удобства внесём множитель $2$ в первую скобку:

$(2x - 2 \cdot \frac{1}{2})(x+1) = (2x-1)(x+1)$.

Ответ: $(2x-1)(x+1)$.

4) Разложим на множители трёхчлен $2x^2 - 3x - 2$. Для этого решим квадратное уравнение $2x^2 - 3x - 2 = 0$.

Коэффициенты: $a=2$, $b=-3$, $c=-2$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

Найдём корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$.

$x_1 = \frac{3+5}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$x_2 = \frac{3-5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Применим формулу разложения $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$2x^2-3x-2 = 2(x-2)(x-(-\frac{1}{2})) = 2(x-2)(x+\frac{1}{2})$.

Внесём множитель $2$ во вторую скобку:

$(x-2)(2x+2 \cdot \frac{1}{2}) = (x-2)(2x+1)$.

Ответ: $(x-2)(2x+1)$.