Номер 600, страница 246 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 600, страница 246.

Условие.

600. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

1) $x^2 + 12x + 30;$

2) $x^2 - 10x + 16;$

3) $2x^2 + x - 1;$

4) $2x^2 - 3x - 2.$

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы разложить на множители квадратный трёхчлен $x^2+12x+30$, нужно найти корни соответствующего квадратного уравнения $x^2+12x+30=0$.

Для разложения квадратного трёхчлена вида $ax^2+bx+c$ на множители используется формула $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2+bx+c=0$.

В нашем случае коэффициенты: $a=1$, $b=12$, $c=30$.

Найдём корни уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 144 - 120 = 24$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 \pm \sqrt{4 \cdot 6}}{2} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -6 \pm \sqrt{6}$.

Корни уравнения: $x_1 = -6 + \sqrt{6}$ и $x_2 = -6 - \sqrt{6}$.

Подставим найденные корни в формулу разложения:

$x^2+12x+30 = 1 \cdot (x - (-6+\sqrt{6}))(x - (-6-\sqrt{6})) = (x+6-\sqrt{6})(x+6+\sqrt{6})$.

Ответ: $(x+6-\sqrt{6})(x+6+\sqrt{6})$.

2) Разложим на множители трёхчлен $x^2 - 10x + 16$. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 - 10x + 16 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-10$, $c=16$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36$.

Найдём корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-(-10) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 6}{2}$.

$x_1 = \frac{10+6}{2} = 8$.

$x_2 = \frac{10-6}{2} = 2$.

(Также можно было найти корни по теореме Виета: их сумма равна $10$, а произведение $16$, что соответствует числам $2$ и $8$.)

Применим формулу разложения $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$x^2-10x+16 = 1 \cdot (x-8)(x-2) = (x-2)(x-8)$.

Ответ: $(x-2)(x-8)$.

3) Разложим на множители трёхчлен $2x^2 + x - 1$. Для этого решим квадратное уравнение $2x^2 + x - 1=0$.

Коэффициенты: $a=2$, $b=1$, $c=-1$.

Вычислим дискриминант:

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Найдём корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4}$.

$x_1 = \frac{-1+3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$x_2 = \frac{-1-3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.

Применим формулу разложения $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$2x^2+x-1 = 2(x - \frac{1}{2})(x - (-1)) = 2(x - \frac{1}{2})(x+1)$.

Для удобства внесём множитель $2$ в первую скобку:

$(2x - 2 \cdot \frac{1}{2})(x+1) = (2x-1)(x+1)$.

Ответ: $(2x-1)(x+1)$.

4) Разложим на множители трёхчлен $2x^2 - 3x - 2$. Для этого решим квадратное уравнение $2x^2 - 3x - 2 = 0$.

Коэффициенты: $a=2$, $b=-3$, $c=-2$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

Найдём корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$.

$x_1 = \frac{3+5}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$x_2 = \frac{3-5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Применим формулу разложения $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$2x^2-3x-2 = 2(x-2)(x-(-\frac{1}{2})) = 2(x-2)(x+\frac{1}{2})$.

Внесём множитель $2$ во вторую скобку:

$(x-2)(2x+2 \cdot \frac{1}{2}) = (x-2)(2x+1)$.

Ответ: $(x-2)(2x+1)$.