Номер 602, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 602, страница 247.

Условие.

Решить уравнение (602—603).

602.

1) $x^4 - 9x^2 + 20 = 0;$

2) $x^4 - 11x^2 + 18 = 0;$

3) $2x^4 - 5x^2 + 2 = 0;$

4) $5x^4 - 16x^2 + 3 = 0.$

Решение 3.

Решение 4.

1) $x^4 - 9x^2 + 20 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$(x^2)^2 - 9x^2 + 20 = 0$

$t^2 - 9t + 20 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно переменной $t$. Решим его. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения.

По теореме Виета, сумма корней равна 9, а их произведение равно 20. Легко подобрать корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = 5$.

Проверим через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$.

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2}$.

$t_1 = \frac{9+1}{2} = 5$.

$t_2 = \frac{9-1}{2} = 4$.

Оба корня ($5$ и $4$) удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену:

1. $x^2 = t_1 = 5 \implies x = \pm\sqrt{5}$.

2. $x^2 = t_2 = 4 \implies x = \pm\sqrt{4} = \pm2$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $\pm2; \pm\sqrt{5}$.

2) $x^4 - 11x^2 + 18 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Уравнение примет вид: $t^2 - 11t + 18 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 11, произведение равно 18. Корни: $t_1 = 9$ и $t_2 = 2$.

Проверим через дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 - 72 = 49 = 7^2$.

$t_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{11 \pm 7}{2}$.

$t_1 = \frac{11+7}{2} = 9$.

$t_2 = \frac{11-7}{2} = 2$.

Оба корня ($9$ и $2$) положительны, поэтому подходят.

Выполним обратную замену:

1. $x^2 = t_1 = 9 \implies x = \pm\sqrt{9} = \pm3$.

2. $x^2 = t_2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.

Ответ: $\pm3; \pm\sqrt{2}$.

3) $2x^4 - 5x^2 + 2 = 0$

Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение: $2t^2 - 5t + 2 = 0$.

Найдем его корни через дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

$t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}$.

$t_1 = \frac{5+3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$t_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Оба корня ($2$ и $1/2$) положительны.

Вернемся к исходной переменной:

1. $x^2 = t_1 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.

2. $x^2 = t_2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\pm\sqrt{2}; \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4) $5x^4 - 16x^2 + 3 = 0$

Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Тогда уравнение преобразуется в: $5t^2 - 16t + 3 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 256 - 60 = 196 = 14^2$.

$t_{1,2} = \frac{16 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 5} = \frac{16 \pm 14}{10}$.

$t_1 = \frac{16+14}{10} = \frac{30}{10} = 3$.

$t_2 = \frac{16-14}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Оба корня ($3$ и $1/5$) положительны.

Произведем обратную замену:

1. $x^2 = t_1 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$.

2. $x^2 = t_2 = \frac{1}{5} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1}{5}} = \pm\frac{1}{\sqrt{5}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\pm\sqrt{3}; \pm\frac{\sqrt{5}}{5}$.