Номер 605, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 605, страница 247.

Условие.

605. Найти два числа, разность которых равна 1, а сумма их квадратов равна $3 \frac{2}{9}$.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть искомые числа — это $x$ и $y$.

Согласно условию задачи, можно составить систему уравнений:

1. Разность чисел равна 1: $x - y = 1$.

2. Сумма их квадратов равна $3\frac{2}{9}$: $x^2 + y^2 = 3\frac{2}{9}$.

Для удобства решения преобразуем смешанную дробь в неправильную:

$3\frac{2}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 2}{9} = \frac{29}{9}$

Теперь наша система уравнений выглядит так:

$ \begin{cases} x - y = 1 \\ x^2 + y^2 = \frac{29}{9} \end{cases} $

Из первого уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = y + 1$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(y + 1)^2 + y^2 = \frac{29}{9}$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$y^2 + 2y + 1 + y^2 = \frac{29}{9}$

Приведем подобные слагаемые:

$2y^2 + 2y + 1 = \frac{29}{9}$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 9:

$9(2y^2 + 2y + 1) = 29$

$18y^2 + 18y + 9 = 29$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$:

$18y^2 + 18y + 9 - 29 = 0$

$18y^2 + 18y - 20 = 0$

Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на 2:

$9y^2 + 9y - 10 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 9^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-10) = 81 + 360 = 441$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{441}}{2 \cdot 9} = \frac{-9 + 21}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{441}}{2 \cdot 9} = \frac{-9 - 21}{18} = \frac{-30}{18} = -\frac{5}{3}$

Мы нашли два возможных значения для $y$. Теперь для каждого из них найдем соответствующее значение $x$, используя ранее выведенную зависимость $x = y + 1$.

Случай 1:

Если $y_1 = \frac{2}{3}$, то $x_1 = \frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} = \frac{5}{3}$.

Первая пара чисел: $(\frac{5}{3}; \frac{2}{3})$.

Случай 2:

Если $y_2 = -\frac{5}{3}$, то $x_2 = -\frac{5}{3} + 1 = -\frac{5}{3} + \frac{3}{3} = -\frac{2}{3}$.

Вторая пара чисел: $(-\frac{2}{3}; -\frac{5}{3})$.

Таким образом, мы нашли две пары чисел, удовлетворяющие условиям задачи.

Ответ: искомые числа — это $\frac{5}{3}$ и $\frac{2}{3}$, или $-\frac{2}{3}$ и $-\frac{5}{3}$.