Номер 603, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 603, страница 247.

Условие.

603. 1) $ \frac{x}{x-2} + \frac{3}{x} = \frac{3}{x-2}; $

2) $ \frac{x^2}{x^2+3x} + \frac{2+x}{x+3} = \frac{5-x}{x}; $

3) $ \frac{y+3}{y^2-y} + \frac{6-y}{1-y^2} = \frac{y+5}{y+y^2}; $

4) $ \frac{y+4}{y-4} - \frac{y}{4-y} = 2 - \frac{4}{y}. $

Решение 3.

Решение 4.

1) $\frac{x}{x-2} + \frac{3}{x} = \frac{3}{x-2}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $x-2 \ne 0$ и $x \ne 0$. Отсюда следует, что $x \ne 2$ и $x \ne 0$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$\frac{x}{x-2} - \frac{3}{x-2} + \frac{3}{x} = 0$

Сгруппируем первые два слагаемых, так как у них одинаковый знаменатель:

$\frac{x-3}{x-2} + \frac{3}{x} = 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x-2)$:

$\frac{x(x-3) + 3(x-2)}{x(x-2)} = 0$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{x^2 - 3x + 3x - 6}{x(x-2)} = 0$

$\frac{x^2 - 6}{x(x-2)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие на знаменатель уже учтено в ОДЗ.

$x^2 - 6 = 0$

$x^2 = 6$

$x = \pm\sqrt{6}$

Оба корня, $\sqrt{6}$ и $-\sqrt{6}$, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pm\sqrt{6}$.

---

2) $\frac{x^2}{x^2 + 3x} + \frac{2+x}{x+3} = \frac{5-x}{x}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не могут быть равны нулю. Разложим знаменатель $x^2 + 3x$ на множители: $x(x+3)$.

Условия: $x \ne 0$ и $x+3 \ne 0$, т.е. $x \ne -3$.

Преобразуем уравнение, подставив разложенный знаменатель:

$\frac{x^2}{x(x+3)} + \frac{2+x}{x+3} = \frac{5-x}{x}$

Сократим первую дробь на $x$ (это возможно, так как $x \ne 0$ по ОДЗ):

$\frac{x}{x+3} + \frac{2+x}{x+3} = \frac{5-x}{x}$

Сложим дроби в левой части:

$\frac{x + 2 + x}{x+3} = \frac{5-x}{x}$

$\frac{2x+2}{x+3} = \frac{5-x}{x}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$x(2x+2) = (5-x)(x+3)$

Раскроем скобки:

$2x^2 + 2x = 5x + 15 - x^2 - 3x$

$2x^2 + 2x = -x^2 + 2x + 15$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^2 + x^2 + 2x - 2x - 15 = 0$

$3x^2 - 15 = 0$

$3x^2 = 15$

$x^2 = 5$

$x = \pm\sqrt{5}$

Оба корня, $\sqrt{5}$ и $-\sqrt{5}$, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pm\sqrt{5}$.

---

3) $\frac{y+3}{y^2-y} + \frac{6-y}{1-y^2} = \frac{y+5}{y+y^2}$

Разложим знаменатели на множители для определения ОДЗ:

$y^2-y = y(y-1)$

$1-y^2 = (1-y)(1+y) = -(y-1)(y+1)$

$y+y^2 = y(y+1)$

Знаменатели не равны нулю, значит $y \ne 0$, $y \ne 1$, $y \ne -1$.

Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

$\frac{y+3}{y(y-1)} + \frac{6-y}{-(y-1)(y+1)} = \frac{y+5}{y(y+1)}$

$\frac{y+3}{y(y-1)} - \frac{6-y}{(y-1)(y+1)} = \frac{y+5}{y(y+1)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $y(y-1)(y+1)$, чтобы избавиться от дробей:

$(y+3)(y+1) - y(6-y) = (y+5)(y-1)$

Раскроем скобки:

$(y^2 + y + 3y + 3) - (6y - y^2) = (y^2 - y + 5y - 5)$

$y^2 + 4y + 3 - 6y + y^2 = y^2 + 4y - 5$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2y^2 - 2y + 3 = y^2 + 4y - 5$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$2y^2 - y^2 - 2y - 4y + 3 + 5 = 0$

$y^2 - 6y + 8 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, сумма которых равна 6, а произведение равно 8. Это числа 2 и 4.

$y_1 = 2$, $y_2 = 4$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $y_1=2, y_2=4$.

---

4) $\frac{y+4}{y-4} - \frac{y}{4-y} = 2 - \frac{4}{y}$

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, следовательно, $y-4 \ne 0 \implies y \ne 4$ и $y \ne 0$.

Заметим, что $4-y = -(y-4)$. Используем это для преобразования второго слагаемого:

$\frac{y+4}{y-4} - \frac{y}{-(y-4)} = 2 - \frac{4}{y}$

$\frac{y+4}{y-4} + \frac{y}{y-4} = 2 - \frac{4}{y}$

Сложим дроби в левой части:

$\frac{y+4+y}{y-4} = 2 - \frac{4}{y}$

$\frac{2y+4}{y-4} = \frac{2y-4}{y}$

Применим свойство пропорции (перекрестное умножение):

$y(2y+4) = (y-4)(2y-4)$

Раскроем скобки:

$2y^2 + 4y = 2y^2 - 4y - 8y + 16$

$2y^2 + 4y = 2y^2 - 12y + 16$

Вычтем $2y^2$ из обеих частей уравнения:

$4y = -12y + 16$

Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть:

$4y + 12y = 16$

$16y = 16$

$y = 1$

Корень $y=1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $y=1$.