Номер 594, страница 244 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 35. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 594, страница 244.

Условие.

594. Бассейн наполняется водой из двух кранов. Сначала первый кран был открыт одну треть того времени, которое требуется для наполнения бассейна только через один второй кран. Затем, наоборот, второй кран был открыт одну треть того времени, которое требуется для наполнения бассейна через один первый кран. После этого оказалось, что наполнены $\frac{13}{18}$ бассейна. Оба крана, работая вместе, наполняют бассейн за 3 ч 36 мин. Сколько времени нужно для наполнения бассейна на каждым краном в отдельности?

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $t_1$ — время (в часах), за которое первый кран наполняет весь бассейн, работая в одиночку. Пусть $t_2$ — время (в часах), за которое второй кран наполняет весь бассейн, работая в одиночку.

Тогда производительность (скорость наполнения) первого крана равна $p_1 = \frac{1}{t_1}$ бассейна в час, а производительность второго крана — $p_2 = \frac{1}{t_2}$ бассейна в час.

Составим систему уравнений на основе условий задачи.

1. Условие о последовательном наполнении

Сначала первый кран был открыт в течение времени, равного одной трети времени наполнения бассейна вторым краном, то есть в течение $\frac{t_2}{3}$ часов. За это время он наполнил часть бассейна, равную $p_1 \times \frac{t_2}{3} = \frac{1}{t_1} \times \frac{t_2}{3} = \frac{t_2}{3t_1}$.

Затем второй кран был открыт в течение времени, равного одной трети времени наполнения бассейна первым краном, то есть в течение $\frac{t_1}{3}$ часов. За это время он наполнил часть бассейна, равную $p_2 \times \frac{t_1}{3} = \frac{1}{t_2} \times \frac{t_1}{3} = \frac{t_1}{3t_2}$.

В сумме была наполнена $\frac{13}{18}$ часть бассейна. Получаем первое уравнение:

$\frac{t_2}{3t_1} + \frac{t_1}{3t_2} = \frac{13}{18}$

2. Условие о совместной работе

Оба крана, работая вместе, наполняют бассейн за 3 часа 36 минут. Переведем это время в часы:

$3 \text{ ч } 36 \text{ мин} = 3 + \frac{36}{60} \text{ ч} = 3 + \frac{3}{5} \text{ ч} = 3 + 0.6 \text{ ч} = 3.6 \text{ ч}$.

Совместная производительность двух кранов равна $p_1 + p_2 = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$.

За $3.6$ часа они наполняют весь бассейн (объем которого принят за 1), поэтому:

$(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}) \times 3.6 = 1$

Отсюда получаем второе уравнение:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{3.6} = \frac{1}{18/5} = \frac{5}{18}$

Решение системы уравнений

Имеем систему:

$$\begin{cases}\frac{t_2}{3t_1} + \frac{t_1}{3t_2} = \frac{13}{18} \\\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{5}{18}\end{cases}$$

Упростим первое уравнение, умножив обе части на 3:

$\frac{t_2}{t_1} + \frac{t_1}{t_2} = \frac{13}{6}$

Сделаем замену. Пусть $x = \frac{t_1}{t_2}$. Тогда $\frac{t_2}{t_1} = \frac{1}{x}$. Уравнение примет вид:

$\frac{1}{x} + x = \frac{13}{6}$

Умножим обе части на $6x$, чтобы избавиться от знаменателей ($x \neq 0$):

$6 + 6x^2 = 13x$

$6x^2 - 13x + 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \times 6 \times 6 = 169 - 144 = 25$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2 \times 6} = \frac{13 \pm 5}{12}$

Получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

$x_2 = \frac{13 - 5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

Рассмотрим оба случая, вернувшись к переменным $t_1$ и $t_2$.

Случай 1: $\frac{t_1}{t_2} = \frac{3}{2}$, откуда $t_1 = \frac{3}{2}t_2$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$\frac{1}{\frac{3}{2}t_2} + \frac{1}{t_2} = \frac{5}{18}$

$\frac{2}{3t_2} + \frac{3}{3t_2} = \frac{5}{18}$

$\frac{5}{3t_2} = \frac{5}{18}$

Разделив на 5, получаем $\frac{1}{3t_2} = \frac{1}{18}$, откуда $3t_2 = 18$ и $t_2 = 6$.

Тогда $t_1 = \frac{3}{2} \times 6 = 9$.

Итак, время наполнения для одного крана — 9 часов, для другого — 6 часов.

Случай 2: $\frac{t_1}{t_2} = \frac{2}{3}$, откуда $t_1 = \frac{2}{3}t_2$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$\frac{1}{\frac{2}{3}t_2} + \frac{1}{t_2} = \frac{5}{18}$

$\frac{3}{2t_2} + \frac{2}{2t_2} = \frac{5}{18}$

$\frac{5}{2t_2} = \frac{5}{18}$

Разделив на 5, получаем $\frac{1}{2t_2} = \frac{1}{18}$, откуда $2t_2 = 18$ и $t_2 = 9$.

Тогда $t_1 = \frac{2}{3} \times 9 = 6$.

В этом случае мы получаем те же значения времени: 6 часов и 9 часов, только для кранов, обозначенных как "первый" и "второй" наоборот.

Ответ: Один кран наполняет бассейн за 9 часов, а другой — за 6 часов.