Страница 244 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Первая труба может наполнить весь бассейн за $x$ ч, а вторая — за $y$ ч; работая вместе, эти трубы заполняют бассейн за 7 ч.

Для решения задачи о совместной работе, какой является задача о наполнении бассейна двумя трубами, используется понятие производительности (скорости выполнения работы). В данном случае работа — это наполнение одного бассейна.

Пусть объем всего бассейна равен 1.

• Первая труба наполняет бассейн за $x$ часов, следовательно, ее производительность (часть бассейна, наполняемая за 1 час) равна $P_1 = \frac{1}{x}$.
• Вторая труба наполняет бассейн за $y$ часов, ее производительность равна $P_2 = \frac{1}{y}$.
• При совместной работе производительности складываются. Общая производительность двух труб равна $P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$.
• Время, за которое две трубы наполнят бассейн, работая вместе, равно $T_{общ} = \frac{1}{P_{общ}}$. По условию, это время составляет 7 часов.

На основе этих рассуждений можно составить уравнение и выразить одну переменную через другую.

Исходя из того, что общее время работы равно 7 часам, мы можем записать:

$T_{общ} = \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = 7$

Из этого уравнения следует, что общая производительность равна $\frac{1}{7}$ бассейна в час. Таким образом, мы получаем основное уравнение, связывающее $x$ и $y$:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{7}$

Ответ: Уравнение, связывающее $x$ и $y$, имеет вид $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{7}$.

Чтобы выразить $y$ через $x$, преобразуем полученное уравнение. Сначала изолируем слагаемое с $y$:

$\frac{1}{y} = \frac{1}{7} - \frac{1}{x}$

Приведем правую часть к общему знаменателю $7x$:

$\frac{1}{y} = \frac{x - 7}{7x}$

Теперь, чтобы найти $y$, возьмем обратные величины от обеих частей уравнения ("перевернем" дроби):

$y = \frac{7x}{x - 7}$

Стоит отметить, что время $y$ должно быть положительной величиной, что накладывает условие на $x$: $x - 7 > 0$, то есть $x > 7$. Это логично, так как одна труба должна наполнять бассейн дольше, чем две трубы вместе.

Ответ: $y = \frac{7x}{x - 7}$.

Аналогично предыдущему пункту, выразим $x$ через $y$ из основного уравнения $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{7}$. Изолируем слагаемое с $x$:

$\frac{1}{x} = \frac{1}{7} - \frac{1}{y}$

Приведем правую часть к общему знаменателю $7y$:

$\frac{1}{x} = \frac{y - 7}{7y}$

Возьмем обратные величины от обеих частей уравнения, чтобы найти $x$:

$x = \frac{7y}{y - 7}$

Здесь также действует логическое ограничение: $y - 7 > 0$, то есть $y > 7$.

Ответ: $x = \frac{7y}{y - 7}$.

4. Из двух населённых пунктов, расстояние между которыми 20 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста. Скорость первого $x$ км/ч, скорость второго $y$ км/ч, встреча произошла через $1,5$ ч.

Данная задача описывает движение двух велосипедистов навстречу друг другу. Для решения задачи определим ключевые параметры из условия:

• Общее расстояние: $S = 20$ км.
• Скорость первого велосипедиста: $v_1 = x$ км/ч.
• Скорость второго велосипедиста: $v_2 = y$ км/ч.
• Время движения до встречи: $t = 1,5$ ч.

Когда объекты движутся навстречу друг другу, их скорость сближения является суммой их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2 = x + y$.

Расстояние, которое они вместе преодолели до встречи, равно исходному расстоянию между ними и вычисляется по формуле $S = v_{сбл} \cdot t$.

Подставив известные значения, мы получаем основное уравнение, которое связывает скорости велосипедистов: $20 = (x + y) \cdot 1,5$

Поскольку в условии не содержится конкретного вопроса, ниже приведены решения для нескольких типичных подзадач, основанных на этих данных.

а) Составить уравнение, связывающее $x$ и $y$, и упростить его.

Как было показано выше, исходное уравнение, связывающее скорости, имеет вид: $1,5(x + y) = 20$

Чтобы упростить это уравнение, разделим обе его части на $1,5$: $x + y = \frac{20}{1,5}$

Для удобства вычислений представим десятичную дробь $1,5$ в виде обыкновенной: $1,5 = \frac{3}{2}$. $x + y = \frac{20}{3/2} = 20 \cdot \frac{2}{3} = \frac{40}{3}$

Таким образом, мы получили упрощенное уравнение, связывающее скорости $x$ и $y$. Его можно оставить в виде неправильной дроби или выделить целую часть: $x + y = 13\frac{1}{3}$.

Ответ: $1,5(x+y)=20$ или в упрощенном виде $x+y=\frac{40}{3}$.

б) Выразить скорость второго велосипедиста ($y$) через скорость первого ($x$).

Для этого воспользуемся упрощенным уравнением из предыдущего пункта: $x + y = \frac{40}{3}$

Чтобы выразить $y$, необходимо перенести $x$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный: $y = \frac{40}{3} - x$

Ответ: $y = \frac{40}{3} - x$.

в) Найти скорость второго велосипедиста, если скорость первого равна 10 км/ч.

По условию этого пункта, $x = 10$ км/ч. Для нахождения $y$ используем формулу, выведенную в пункте б): $y = \frac{40}{3} - x$

Подставим известное значение $x$: $y = \frac{40}{3} - 10$

Приведем вычитаемое к общему знаменателю 3: $10 = \frac{10 \cdot 3}{3} = \frac{30}{3}$. $y = \frac{40}{3} - \frac{30}{3} = \frac{40 - 30}{3} = \frac{10}{3}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$ км/ч.

Ответ: Скорость второго велосипедиста равна $3\frac{1}{3}$ км/ч.

г) Найти скорости обоих велосипедистов, если известно, что скорость первого на 2 км/ч больше скорости второго.

Дополнительное условие можно записать в виде второго уравнения: $x = y + 2$.

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными: $$ \begin{cases} x + y = \frac{40}{3} \\ x = y + 2 \end{cases} $$

Решим эту систему методом подстановки. Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое: $(y + 2) + y = \frac{40}{3}$

$2y + 2 = \frac{40}{3}$

$2y = \frac{40}{3} - 2$

$2y = \frac{40}{3} - \frac{6}{3} = \frac{34}{3}$

$y = \frac{34}{3 \cdot 2} = \frac{17}{3}$

Скорость второго велосипедиста: $y = 5\frac{2}{3}$ км/ч.

Теперь найдем скорость первого велосипедиста $x$, подставив значение $y$ во второе уравнение: $x = y + 2 = \frac{17}{3} + 2 = \frac{17}{3} + \frac{6}{3} = \frac{23}{3}$

Скорость первого велосипедиста: $x = 7\frac{2}{3}$ км/ч.

Ответ: Скорость первого велосипедиста $7\frac{2}{3}$ км/ч, скорость второго велосипедиста $5\frac{2}{3}$ км/ч.

587. Произведение двух чисел равно 135, а их разность — 6. Найти эти числа.

Пусть первое искомое число — $x$, а второе — $y$.
Из условия задачи мы можем составить систему уравнений:
$ \begin{cases} x \cdot y = 135 \\ x - y = 6 \end{cases} $

Для решения системы выразим $x$ из второго уравнения:
$x = y + 6$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:
$(y + 6) \cdot y = 135$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$y^2 + 6y = 135$
$y^2 + 6y - 135 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-135) = 36 + 540 = 576$
Найдем корни уравнения:
$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 24}{2}$

Получаем два возможных значения для $y$:
$y_1 = \frac{-6 + 24}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$y_2 = \frac{-6 - 24}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя формулу $x = y + 6$:
1. Если $y_1 = 9$, то $x_1 = 9 + 6 = 15$.
Первая пара чисел — 15 и 9.
Проверка: $15 \cdot 9 = 135$ и $15 - 9 = 6$. Верно.

2. Если $y_2 = -15$, то $x_2 = -15 + 6 = -9$.
Вторая пара чисел — -9 и -15.
Проверка: $(-9) \cdot (-15) = 135$ и $(-9) - (-15) = -9 + 15 = 6$. Верно.

Таким образом, существуют две пары чисел, удовлетворяющие условию задачи.
Ответ: 15 и 9; или -9 и -15.

588. Разность двух чисел равна 18. Сумма этих чисел, сложенная с частным от деления большего на меньшее, равна 34. Найти эти числа.

Для решения задачи введем переменные. Пусть x — большее число, а y — меньшее число.

Согласно условию, разность двух чисел равна 18. Это дает нам первое уравнение:
$x - y = 18$

Также из условия известно, что сумма этих чисел, сложенная с частным от деления большего на меньшее, равна 34. Составим второе уравнение:
$(x + y) + \frac{x}{y} = 34$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} x - y = 18 \\ (x + y) + \frac{x}{y} = 34 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим x через y:
$x = 18 + y$

Теперь подставим это выражение для x во второе уравнение системы:
$((18 + y) + y) + \frac{18 + y}{y} = 34$

Упростим полученное уравнение, раскрыв скобки и разделив дробь:
$(18 + 2y) + \frac{18}{y} + \frac{y}{y} = 34$
$18 + 2y + \frac{18}{y} + 1 = 34$
$19 + 2y + \frac{18}{y} = 34$

Перенесем 19 в правую часть:
$2y + \frac{18}{y} = 34 - 19$
$2y + \frac{18}{y} = 15$

Умножим обе части уравнения на y, чтобы избавиться от знаменателя (мы знаем, что $y \neq 0$, так как на него делят в условии):
$y \cdot (2y + \frac{18}{y}) = 15 \cdot y$
$2y^2 + 18 = 15y$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$:
$2y^2 - 15y + 18 = 0$

Решим это уравнение. Сначала найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 = 225 - 144 = 81$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.

Найдем корни уравнения для y по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-(-15) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{15 + 9}{4} = \frac{24}{4} = 6$
$y_2 = \frac{-(-15) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{15 - 9}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$

Мы получили два возможных значения для меньшего числа. Для каждого из них найдем соответствующее значение большего числа x, используя формулу $x = 18 + y$.

1. Если меньшее число $y_1 = 6$, то большее число:
$x_1 = 18 + 6 = 24$
Проверим эту пару чисел (24 и 6):
Разность: $24 - 6 = 18$ (верно).
Сумма плюс частное: $(24 + 6) + \frac{24}{6} = 30 + 4 = 34$ (верно).

2. Если меньшее число $y_2 = 1.5$, то большее число:
$x_2 = 18 + 1.5 = 19.5$
Проверим эту пару чисел (19.5 и 1.5):
Разность: $19.5 - 1.5 = 18$ (верно).
Сумма плюс частное: $(19.5 + 1.5) + \frac{19.5}{1.5} = 21 + 13 = 34$ (верно).

Обе пары чисел удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: искомые числа — это 24 и 6, или 19.5 и 1.5.

589. Периметр прямоугольника равен 14 см, а площадь – 12 $ \text{см}^2 $.Каковы стороны прямоугольника?

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

Согласно условиям задачи, периметр равен 14 см, а площадь — 12 см². Составим систему уравнений:
$\begin{cases} 2(a + b) = 14 \\ a \cdot b = 12 \end{cases}$

Упростим первое уравнение, разделив обе его части на 2:
$a + b = \frac{14}{2}$
$a + b = 7$

Теперь наша система уравнений выглядит так:
$\begin{cases} a + b = 7 \\ a \cdot b = 12 \end{cases}$

Мы можем решить эту систему методом подстановки. Выразим переменную $a$ из первого уравнения:
$a = 7 - b$

Теперь подставим это выражение для $a$ во второе уравнение:
$(7 - b) \cdot b = 12$
Раскроем скобки:
$7b - b^2 = 12$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$b^2 - 7b + 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета (сумма корней равна 7, произведение равно 12, значит корни — 3 и 4) или найти корни через дискриминант $D$.
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$
Корни уравнения:
$b_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$b_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Таким образом, мы нашли возможные значения для одной из сторон: 3 см и 4 см.
Если $b = 3$ см, то вторая сторона $a = 7 - 3 = 4$ см.
Если $b = 4$ см, то вторая сторона $a = 7 - 4 = 3$ см.
В обоих случаях стороны прямоугольника равны 3 см и 4 см.

Проверка:
Периметр: $P = 2(3 + 4) = 2 \cdot 7 = 14$ см.
Площадь: $S = 3 \cdot 4 = 12$ см².
Результат верный.

Ответ: стороны прямоугольника равны 3 см и 4 см.

590. Площадь прямоугольного треугольника равна $90 \text{ см}^2$. Сумма площадей квадратов, построенных на его катетах, равна $369 \text{ см}^2$. Каковы катеты этого треугольника?

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$. Согласно условию задачи, площадь равна 90 см², следовательно, мы можем составить первое уравнение:
$\frac{1}{2}ab = 90$
$ab = 180$

Площадь квадрата, построенного на катете $a$, равна $a^2$. Площадь квадрата, построенного на катете $b$, равна $b^2$. Сумма этих площадей по условию равна 369 см², что дает нам второе уравнение:
$a^2 + b^2 = 369$

Для нахождения катетов $a$ и $b$ необходимо решить систему уравнений:
$\begin{cases} ab = 180 \\ a^2 + b^2 = 369 \end{cases}$

Для решения этой системы воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$. Подставим в нее известные нам значения из системы:
$(a+b)^2 = 369 + 2 \cdot 180$
$(a+b)^2 = 369 + 360$
$(a+b)^2 = 729$
Так как $a$ и $b$ — это длины сторон треугольника, их значения положительны, поэтому и их сумма $a+b$ также положительна. Извлечем квадратный корень:
$a+b = \sqrt{729} = 27$

Теперь мы имеем более простую систему уравнений:
$\begin{cases} a+b = 27 \\ ab = 180 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$. Подставим значения суммы и произведения в это уравнение:
$t^2 - 27t + 180 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 180 = 729 - 720 = 9$
Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-(-27) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{27 + 3}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$t_2 = \frac{-(-27) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{27 - 3}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Корни уравнения $t_1=15$ и $t_2=12$ являются длинами катетов треугольника.

Ответ: катеты треугольника равны 12 см и 15 см.

591. Два восьмых класса одной школы приобрели билеты в театр. Первый класс израсходовал на билеты 4900 р. Второй класс купил на 15 билетов меньше, но заплатил за каждый билет на 30 р. больше и истратил на билеты 3400 р. Сколько билетов и по какой цене куплено каждым классом?

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — количество билетов, купленных первым классом, а $y$ — цена одного билета для первого класса в рублях.

Исходя из условия, что первый класс израсходовал на билеты 4900 р., составим первое уравнение:

$x \cdot y = 4900$

Второй класс купил на 15 билетов меньше, то есть $(x - 15)$ штук. Цена каждого билета для второго класса была на 30 р. больше, то есть $(y + 30)$ рублей. Общая сумма, потраченная вторым классом, составила 3400 р. Это дает нам второе уравнение:

$(x - 15)(y + 30) = 3400$

Объединим уравнения в систему:

$\begin{cases} x \cdot y = 4900 \\ (x - 15)(y + 30) = 3400 \end{cases}$

Выразим переменную $y$ из первого уравнения:

$y = \frac{4900}{x}$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$(x - 15)(\frac{4900}{x} + 30) = 3400$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x \cdot \frac{4900}{x} + x \cdot 30 - 15 \cdot \frac{4900}{x} - 15 \cdot 30 = 3400$

$4900 + 30x - \frac{73500}{x} - 450 = 3400$

Упростим полученное выражение, приведя подобные слагаемые:

$4450 + 30x - \frac{73500}{x} = 3400$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$30x + 4450 - 3400 - \frac{73500}{x} = 0$

$30x + 1050 - \frac{73500}{x} = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $x$ (мы знаем, что $x \neq 0$, так как билеты были куплены):

$30x^2 + 1050x - 73500 = 0$

Для удобства вычислений разделим все члены квадратного уравнения на 30:

$x^2 + 35x - 2450 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 35^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2450) = 1225 + 9800 = 11025$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-35 \pm \sqrt{11025}}{2 \cdot 1} = \frac{-35 \pm 105}{2}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{-35 + 105}{2} = \frac{70}{2} = 35$

$x_2 = \frac{-35 - 105}{2} = \frac{-140}{2} = -70$

Количество билетов не может быть отрицательным числом, поэтому корень $x_2 = -70$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, первый класс купил $x=35$ билетов.

Теперь, зная количество билетов, найдем их цену для каждого класса.

Первый класс

Количество билетов: $x = 35$.

Цена одного билета: $y = \frac{4900}{x} = \frac{4900}{35} = 140$ рублей.

Ответ: Первый класс купил 35 билетов по цене 140 р.

Второй класс

Количество билетов: $x - 15 = 35 - 15 = 20$.

Цена одного билета: $y + 30 = 140 + 30 = 170$ рублей.

Проверка: $20 \cdot 170 = 3400$ р., что соответствует условию задачи.

Ответ: Второй класс купил 20 билетов по цене 170 р.

592. Двое специалистов, работая вместе, закончили порученную им работу за 12 ч. Если бы сначала один из них выполнил половину всей работы, а другой — остальную часть, то на выполнение всей работы понадобилось бы 25 ч. За какое время каждый из них закончил бы эту работу, работая один?

Примем весь объем работы за 1.

Пусть $t_1$ — время (в часах), за которое первый специалист выполнит всю работу, работая один, и $t_2$ — время (в часах), за которое второй специалист выполнит всю работу один.

Тогда производительность первого специалиста равна $v_1 = \frac{1}{t_1}$ (часть работы в час), а производительность второго — $v_2 = \frac{1}{t_2}$ (часть работы в час).

Согласно первому условию, работая вместе, они заканчивают работу за 12 часов. Их совместная производительность равна $v_1 + v_2$. Составим первое уравнение:

$12 \cdot (v_1 + v_2) = 1$

Подставив выражения для производительностей, получим:

$12 \cdot (\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}) = 1$

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12}$

Согласно второму условию, если сначала один из них выполнит половину работы ($\frac{1}{2}$), а затем другой — оставшуюся половину ($\frac{1}{2}$), то общее время составит 25 часов.

Время, которое потратит первый специалист на выполнение половины работы, равно $\frac{\text{объем работы}}{\text{производительность}} = \frac{1/2}{1/t_1} = \frac{t_1}{2}$ часов.

Время, которое потратит второй специалист на выполнение второй половины работы, равно $\frac{1/2}{1/t_2} = \frac{t_2}{2}$ часов.

Суммарное время равно 25 часам, что дает нам второе уравнение:

$\frac{t_1}{2} + \frac{t_2}{2} = 25$

$t_1 + t_2 = 50$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12} \\ t_1 + t_2 = 50 \end{cases}$

Преобразуем первое уравнение, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{t_2 + t_1}{t_1 \cdot t_2} = \frac{1}{12}$

Из второго уравнения мы знаем, что $t_1 + t_2 = 50$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$\frac{50}{t_1 \cdot t_2} = \frac{1}{12}$

Отсюда находим произведение $t_1 \cdot t_2$:

$t_1 \cdot t_2 = 50 \cdot 12 = 600$

Теперь система уравнений выглядит так:

$\begin{cases} t_1 + t_2 = 50 \\ t_1 \cdot t_2 = 600 \end{cases}$

Эта система решается с помощью теоремы Виета. Значения $t_1$ и $t_2$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (t_1 + t_2)x + t_1 \cdot t_2 = 0$. Подставим наши значения:

$x^2 - 50x + 600 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600 = 2500 - 2400 = 100$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 + \sqrt{100}}{2} = \frac{50 + 10}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 - \sqrt{100}}{2} = \frac{50 - 10}{2} = \frac{40}{2} = 20$

Таким образом, время выполнения работы для каждого специалиста в отдельности составляет 20 часов и 30 часов.

Ответ: один специалист закончит работу за 20 часов, а другой — за 30 часов.

593. В зрительном зале клуба было 320 мест. После ремонта число мест в каждом ряду увеличили на 4 и, кроме того, в зале добавили ещё один ряд. Сколько стало рядов в этом зале, если после ремонта стало 420 мест?

Решение:

Для решения задачи введем переменные, описывающие состояние зрительного зала до и после ремонта.

Пусть $r_1$ — это первоначальное количество рядов в зале, а $s_1$ — первоначальное количество мест в каждом ряду. По условию, всего было 320 мест, что можно записать в виде уравнения:

$r_1 \cdot s_1 = 320$

После ремонта количество рядов увеличилось на 1, а количество мест в каждом ряду — на 4. Обозначим новые значения как $r_2$ (количество рядов после ремонта) и $s_2$ (количество мест в ряду после ремонта).

$r_2 = r_1 + 1$

$s_2 = s_1 + 4$

Общее число мест после ремонта стало 420. Это дает нам второе уравнение:

$r_2 \cdot s_2 = 420$

Подставим выражения для $r_2$ и $s_2$ в это уравнение:

$(r_1 + 1)(s_1 + 4) = 420$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$r_1 s_1 + 4r_1 + s_1 + 4 = 420$

Из первого уравнения мы знаем, что $r_1 s_1 = 320$. Подставим это значение в полученное уравнение:

$320 + 4r_1 + s_1 + 4 = 420$

Приведем подобные слагаемые:

$4r_1 + s_1 + 324 = 420$

Выразим сумму $4r_1 + s_1$:

$4r_1 + s_1 = 420 - 324$

$4r_1 + s_1 = 96$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными $r_1$ и $s_1$:

$\begin{cases} r_1 \cdot s_1 = 320 \\ 4r_1 + s_1 = 96 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $s_1$ через $r_1$:

$s_1 = 96 - 4r_1$

Подставим это выражение для $s_1$ в первое уравнение системы:

$r_1(96 - 4r_1) = 320$

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение относительно $r_1$:

$96r_1 - 4r_1^2 = 320$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону и упорядочим их:

$4r_1^2 - 96r_1 + 320 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 4:

$r_1^2 - 24r_1 + 80 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или разложение на множители. Найдем два числа, произведение которых равно 80, а сумма — 24. Это числа 20 и 4. Тогда уравнение можно записать в виде:

$(r_1 - 20)(r_1 - 4) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для первоначального количества рядов $r_1$:

$r_1 = 20$ или $r_1 = 4$.

В задаче спрашивается, сколько рядов стало в зале после ремонта, то есть нам нужно найти $r_2 = r_1 + 1$. Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1. Если изначально было $r_1 = 4$ ряда.

Тогда после ремонта стало $r_2 = 4 + 1 = 5$ рядов. Проверим этот вариант. Если $r_1 = 4$, то $s_1 = 320 / 4 = 80$ мест в ряду. После ремонта: $r_2 = 5$ рядов, $s_2 = 80 + 4 = 84$ места в ряду. Общее число мест: $r_2 \cdot s_2 = 5 \cdot 84 = 420$. Это соответствует условию задачи.

Случай 2. Если изначально было $r_1 = 20$ рядов.

Тогда после ремонта стало $r_2 = 20 + 1 = 21$ ряд. Проверим этот вариант. Если $r_1 = 20$, то $s_1 = 320 / 20 = 16$ мест в ряду. После ремонта: $r_2 = 21$ ряд, $s_2 = 16 + 4 = 20$ мест в ряду. Общее число мест: $r_2 \cdot s_2 = 21 \cdot 20 = 420$. Это также соответствует условию задачи.

Оба варианта являются математически верными решениями. Таким образом, у задачи есть два возможных ответа.

Ответ: в зале стало 5 рядов или 21 ряд.

594. Бассейн наполняется водой из двух кранов. Сначала первый кран был открыт одну треть того времени, которое требуется для наполнения бассейна только через один второй кран. Затем, наоборот, второй кран был открыт одну треть того времени, которое требуется для наполнения бассейна через один первый кран. После этого оказалось, что наполнены $\frac{13}{18}$ бассейна. Оба крана, работая вместе, наполняют бассейн за 3 ч 36 мин. Сколько времени нужно для наполнения бассейна на каждым краном в отдельности?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $t_1$ — время (в часах), за которое первый кран наполняет весь бассейн, работая в одиночку. Пусть $t_2$ — время (в часах), за которое второй кран наполняет весь бассейн, работая в одиночку.

Тогда производительность (скорость наполнения) первого крана равна $p_1 = \frac{1}{t_1}$ бассейна в час, а производительность второго крана — $p_2 = \frac{1}{t_2}$ бассейна в час.

Составим систему уравнений на основе условий задачи.

1. Условие о последовательном наполнении

Сначала первый кран был открыт в течение времени, равного одной трети времени наполнения бассейна вторым краном, то есть в течение $\frac{t_2}{3}$ часов. За это время он наполнил часть бассейна, равную $p_1 \times \frac{t_2}{3} = \frac{1}{t_1} \times \frac{t_2}{3} = \frac{t_2}{3t_1}$.

Затем второй кран был открыт в течение времени, равного одной трети времени наполнения бассейна первым краном, то есть в течение $\frac{t_1}{3}$ часов. За это время он наполнил часть бассейна, равную $p_2 \times \frac{t_1}{3} = \frac{1}{t_2} \times \frac{t_1}{3} = \frac{t_1}{3t_2}$.

В сумме была наполнена $\frac{13}{18}$ часть бассейна. Получаем первое уравнение:

$\frac{t_2}{3t_1} + \frac{t_1}{3t_2} = \frac{13}{18}$

2. Условие о совместной работе

Оба крана, работая вместе, наполняют бассейн за 3 часа 36 минут. Переведем это время в часы:

$3 \text{ ч } 36 \text{ мин} = 3 + \frac{36}{60} \text{ ч} = 3 + \frac{3}{5} \text{ ч} = 3 + 0.6 \text{ ч} = 3.6 \text{ ч}$.

Совместная производительность двух кранов равна $p_1 + p_2 = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$.

За $3.6$ часа они наполняют весь бассейн (объем которого принят за 1), поэтому:

$(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}) \times 3.6 = 1$

Отсюда получаем второе уравнение:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{3.6} = \frac{1}{18/5} = \frac{5}{18}$

Решение системы уравнений

Имеем систему:

$$\begin{cases}\frac{t_2}{3t_1} + \frac{t_1}{3t_2} = \frac{13}{18} \\\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{5}{18}\end{cases}$$

Упростим первое уравнение, умножив обе части на 3:

$\frac{t_2}{t_1} + \frac{t_1}{t_2} = \frac{13}{6}$

Сделаем замену. Пусть $x = \frac{t_1}{t_2}$. Тогда $\frac{t_2}{t_1} = \frac{1}{x}$. Уравнение примет вид:

$\frac{1}{x} + x = \frac{13}{6}$

Умножим обе части на $6x$, чтобы избавиться от знаменателей ($x \neq 0$):

$6 + 6x^2 = 13x$

$6x^2 - 13x + 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \times 6 \times 6 = 169 - 144 = 25$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2 \times 6} = \frac{13 \pm 5}{12}$

Получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

$x_2 = \frac{13 - 5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

Рассмотрим оба случая, вернувшись к переменным $t_1$ и $t_2$.

Случай 1: $\frac{t_1}{t_2} = \frac{3}{2}$, откуда $t_1 = \frac{3}{2}t_2$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$\frac{1}{\frac{3}{2}t_2} + \frac{1}{t_2} = \frac{5}{18}$

$\frac{2}{3t_2} + \frac{3}{3t_2} = \frac{5}{18}$

$\frac{5}{3t_2} = \frac{5}{18}$

Разделив на 5, получаем $\frac{1}{3t_2} = \frac{1}{18}$, откуда $3t_2 = 18$ и $t_2 = 6$.

Тогда $t_1 = \frac{3}{2} \times 6 = 9$.

Итак, время наполнения для одного крана — 9 часов, для другого — 6 часов.

Случай 2: $\frac{t_1}{t_2} = \frac{2}{3}$, откуда $t_1 = \frac{2}{3}t_2$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$\frac{1}{\frac{2}{3}t_2} + \frac{1}{t_2} = \frac{5}{18}$

$\frac{3}{2t_2} + \frac{2}{2t_2} = \frac{5}{18}$

$\frac{5}{2t_2} = \frac{5}{18}$

Разделив на 5, получаем $\frac{1}{2t_2} = \frac{1}{18}$, откуда $2t_2 = 18$ и $t_2 = 9$.

Тогда $t_1 = \frac{2}{3} \times 9 = 6$.

В этом случае мы получаем те же значения времени: 6 часов и 9 часов, только для кранов, обозначенных как "первый" и "второй" наоборот.

Ответ: Один кран наполняет бассейн за 9 часов, а другой — за 6 часов.