Номер 591, страница 244 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 35. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 591, страница 244.

Условие.

591. Два восьмых класса одной школы приобрели билеты в театр. Первый класс израсходовал на билеты 4900 р. Второй класс купил на 15 билетов меньше, но заплатил за каждый билет на 30 р. больше и истратил на билеты 3400 р. Сколько билетов и по какой цене куплено каждым классом?

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — количество билетов, купленных первым классом, а $y$ — цена одного билета для первого класса в рублях.

Исходя из условия, что первый класс израсходовал на билеты 4900 р., составим первое уравнение:

$x \cdot y = 4900$

Второй класс купил на 15 билетов меньше, то есть $(x - 15)$ штук. Цена каждого билета для второго класса была на 30 р. больше, то есть $(y + 30)$ рублей. Общая сумма, потраченная вторым классом, составила 3400 р. Это дает нам второе уравнение:

$(x - 15)(y + 30) = 3400$

Объединим уравнения в систему:

$\begin{cases} x \cdot y = 4900 \\ (x - 15)(y + 30) = 3400 \end{cases}$

Выразим переменную $y$ из первого уравнения:

$y = \frac{4900}{x}$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$(x - 15)(\frac{4900}{x} + 30) = 3400$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x \cdot \frac{4900}{x} + x \cdot 30 - 15 \cdot \frac{4900}{x} - 15 \cdot 30 = 3400$

$4900 + 30x - \frac{73500}{x} - 450 = 3400$

Упростим полученное выражение, приведя подобные слагаемые:

$4450 + 30x - \frac{73500}{x} = 3400$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$30x + 4450 - 3400 - \frac{73500}{x} = 0$

$30x + 1050 - \frac{73500}{x} = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $x$ (мы знаем, что $x \neq 0$, так как билеты были куплены):

$30x^2 + 1050x - 73500 = 0$

Для удобства вычислений разделим все члены квадратного уравнения на 30:

$x^2 + 35x - 2450 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 35^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2450) = 1225 + 9800 = 11025$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-35 \pm \sqrt{11025}}{2 \cdot 1} = \frac{-35 \pm 105}{2}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{-35 + 105}{2} = \frac{70}{2} = 35$

$x_2 = \frac{-35 - 105}{2} = \frac{-140}{2} = -70$

Количество билетов не может быть отрицательным числом, поэтому корень $x_2 = -70$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, первый класс купил $x=35$ билетов.

Теперь, зная количество билетов, найдем их цену для каждого класса.

Первый класс

Количество билетов: $x = 35$.

Цена одного билета: $y = \frac{4900}{x} = \frac{4900}{35} = 140$ рублей.

Ответ: Первый класс купил 35 билетов по цене 140 р.

Второй класс

Количество билетов: $x - 15 = 35 - 15 = 20$.

Цена одного билета: $y + 30 = 140 + 30 = 170$ рублей.

Проверка: $20 \cdot 170 = 3400$ р., что соответствует условию задачи.

Ответ: Второй класс купил 20 билетов по цене 170 р.