Страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

577. 1) $\begin{cases} 2x + 3y = 3, \\ 4x^2 - 9y^2 = 27; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - y = 5, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 3 \\ 4x^2 - 9y^2 = 27 \end{cases} $$

Заметим, что левая часть второго уравнения, $4x^2 - 9y^2$, является разностью квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$4x^2 - 9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2 = (2x-3y)(2x+3y)$.

Теперь система выглядит следующим образом:

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 3 \\ (2x-3y)(2x+3y) = 27 \end{cases} $$

Из первого уравнения известно, что $2x+3y=3$. Подставим это значение во второе уравнение:

$(2x-3y) \cdot 3 = 27$

Разделим обе части полученного уравнения на 3:

$2x-3y = 9$

Таким образом, мы получили новую, более простую систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 3 \\ 2x - 3y = 9 \end{cases} $$

Сложим два уравнения, чтобы найти переменную $x$:

$(2x+3y) + (2x-3y) = 3 + 9$

$4x = 12$

$x = 3$

Подставим найденное значение $x=3$ в первое уравнение исходной системы ($2x+3y=3$), чтобы найти $y$:

$2(3) + 3y = 3$

$6 + 3y = 3$

$3y = 3 - 6$

$3y = -3$

$y = -1$

Проверим найденное решение $(3; -1)$ для второго уравнения исходной системы:

$4(3)^2 - 9(-1)^2 = 4 \cdot 9 - 9 \cdot 1 = 36 - 9 = 27$.

$27=27$. Равенство верное, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $(3; -1)$.

2) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = 5 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \end{cases} $$

Область допустимых значений для этой системы определяется условиями $x \ge 0$ и $y \ge 0$, так как подкоренные выражения не могут быть отрицательными.

Рассмотрим первое уравнение $x - y = 5$. Его левую часть можно представить как разность квадратов, учитывая, что $x = (\sqrt{x})^2$ и $y = (\sqrt{y})^2$:

$x - y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$$ \begin{cases} (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 5 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \end{cases} $$

Из второго уравнения известно, что $\sqrt{x} - \sqrt{y} = 1$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$1 \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 5$

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$

Теперь у нас есть новая система уравнений, но уже без степеней:

$$ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \end{cases} $$

Сложим два этих уравнения:

$(\sqrt{x} - \sqrt{y}) + (\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 1 + 5$

$2\sqrt{x} = 6$

$\sqrt{x} = 3$

Возведем обе части в квадрат, чтобы найти $x$:

$x = 3^2 = 9$

Теперь подставим значение $\sqrt{x}=3$ в уравнение $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$, чтобы найти $y$:

$3 + \sqrt{y} = 5$

$\sqrt{y} = 5 - 3$

$\sqrt{y} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$y = 2^2 = 4$

Проверим найденное решение $(9; 4)$ в исходной системе:

Первое уравнение: $9 - 4 = 5$. Верно.

Второе уравнение: $\sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$. Верно.

Ответ: $(9; 4)$.

578. 1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 34, \\ xy = 15; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = 12. \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 34, \\ xy = 15. \end{cases} $$ Это симметричная система уравнений. Для ее решения можно использовать следующий метод. Воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.
Подставим в нее значения из системы:
$(x+y)^2 = 34 + 2 \cdot 15 = 34 + 30 = 64$.
Отсюда получаем два возможных значения для суммы $x+y$:
$x+y = \sqrt{64} = 8$ или $x+y = -\sqrt{64} = -8$.

Теперь воспользуемся формулой квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$.
Подставим в нее значения из системы:
$(x-y)^2 = 34 - 2 \cdot 15 = 34 - 30 = 4$.
Отсюда получаем два возможных значения для разности $x-y$:
$x-y = \sqrt{4} = 2$ или $x-y = -\sqrt{4} = -2$.

Теперь мы можем составить и решить четыре системы линейных уравнений, комбинируя полученные уравнения.

Случай 1: $$ \begin{cases} x+y = 8, \\ x-y = 2. \end{cases} $$ Сложив два уравнения, получим $2x = 10$, откуда $x = 5$. Подставив $x=5$ в первое уравнение, найдем $y$: $5+y=8 \Rightarrow y=3$. Получаем решение $(5; 3)$.

Случай 2: $$ \begin{cases} x+y = 8, \\ x-y = -2. \end{cases} $$ Сложив два уравнения, получим $2x = 6$, откуда $x = 3$. Подставив $x=3$ в первое уравнение, найдем $y$: $3+y=8 \Rightarrow y=5$. Получаем решение $(3; 5)$.

Случай 3: $$ \begin{cases} x+y = -8, \\ x-y = 2. \end{cases} $$ Сложив два уравнения, получим $2x = -6$, откуда $x = -3$. Подставив $x=-3$ в первое уравнение, найдем $y$: $-3+y=-8 \Rightarrow y=-5$. Получаем решение $(-3; -5)$.

Случай 4: $$ \begin{cases} x+y = -8, \\ x-y = -2. \end{cases} $$ Сложив два уравнения, получим $2x = -10$, откуда $x = -5$. Подставив $x=-5$ в первое уравнение, найдем $y$: $-5+y=-8 \Rightarrow y=-3$. Получаем решение $(-5; -3)$.

Ответ: $(5; 3), (3; 5), (-3; -5), (-5; -3)$.

2) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = 12. \end{cases} $$ Решим эту систему тем же методом, что и предыдущую.
Найдем квадрат суммы $x+y$:
$(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 25 + 2 \cdot 12 = 25 + 24 = 49$.
Следовательно, $x+y = 7$ или $x+y = -7$.

Найдем квадрат разности $x-y$:
$(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = 25 - 2 \cdot 12 = 25 - 24 = 1$.
Следовательно, $x-y = 1$ или $x-y = -1$.

Теперь рассмотрим четыре случая, комбинируя полученные уравнения.

Случай 1: $$ \begin{cases} x+y = 7, \\ x-y = 1. \end{cases} $$ Сложив уравнения, получаем $2x = 8$, т.е. $x = 4$. Тогда $y = 7 - x = 7 - 4 = 3$. Решение: $(4; 3)$.

Случай 2: $$ \begin{cases} x+y = 7, \\ x-y = -1. \end{cases} $$ Сложив уравнения, получаем $2x = 6$, т.е. $x = 3$. Тогда $y = 7 - x = 7 - 3 = 4$. Решение: $(3; 4)$.

Случай 3: $$ \begin{cases} x+y = -7, \\ x-y = 1. \end{cases} $$ Сложив уравнения, получаем $2x = -6$, т.е. $x = -3$. Тогда $y = -7 - x = -7 - (-3) = -4$. Решение: $(-3; -4)$.

Случай 4: $$ \begin{cases} x+y = -7, \\ x-y = -1. \end{cases} $$ Сложив уравнения, получаем $2x = -8$, т.е. $x = -4$. Тогда $y = -7 - x = -7 - (-4) = -3$. Решение: $(-4; -3)$.

Ответ: $(4; 3), (3; 4), (-3; -4), (-4; -3)$.

579. 1) $\begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ 2x^2 - xy - 3y^2 = 3 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^3 + y^3 = 133 \\ x + y = 7 \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2x^2 - 2xy + x = -9 \\ 2y - 3x = 1 \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + 6xy + 8y^2 = 91 \\ x + 3y - 10 = 0 \end{cases}$

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ 2x^2 - xy - 3y^2 = 3 \end{cases} $

Левая часть второго уравнения, $2x^2 - xy - 3y^2$, является однородным многочленом. Его можно разложить на множители. Для этого решим вспомогательное квадратное уравнение $2t^2 - t - 3 = 0$, где $t = \frac{x}{y}$ (при $y \neq 0$).
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
Корни: $t_1 = \frac{1+5}{4} = \frac{3}{2}$ и $t_2 = \frac{1-5}{4} = -1$.
Следовательно, $x = \frac{3}{2}y$ (или $2x - 3y = 0$) и $x = -y$ (или $x+y=0$).
Таким образом, $2x^2 - xy - 3y^2 = (2x - 3y)(x + y)$.

Система уравнений принимает вид: $ \begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ (2x - 3y)(x + y) = 3 \end{cases} $

Подставляем значение $2x - 3y$ из первого уравнения во второе: $1 \cdot (x + y) = 3$, откуда получаем $x + y = 3$.

Теперь решаем систему линейных уравнений: $ \begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ x + y = 3 \end{cases} $

Из второго уравнения выражаем $x = 3 - y$ и подставляем в первое: $2(3 - y) - 3y = 1$
$6 - 2y - 3y = 1$
$6 - 5y = 1$
$5y = 5$
$y = 1$

Находим соответствующее значение $x$: $x = 3 - y = 3 - 1 = 2$.

Ответ: $(2, 1)$.

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^3 + y^3 = 133 \\ x + y = 7 \end{cases} $

Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Первое уравнение можно переписать в виде: $(x+y)(x^2 - xy + y^2) = 133$.

Подставляем значение $x+y=7$ из второго уравнения: $7(x^2 - xy + y^2) = 133$.
Разделив обе части на 7, получаем: $x^2 - xy + y^2 = 19$.

Теперь решаем новую, более простую систему: $ \begin{cases} x + y = 7 \\ x^2 - xy + y^2 = 19 \end{cases} $

Из первого уравнения выражаем $y = 7 - x$ и подставляем во второе: $x^2 - x(7-x) + (7-x)^2 = 19$
$x^2 - 7x + x^2 + (49 - 14x + x^2) = 19$
$3x^2 - 21x + 49 = 19$
$3x^2 - 21x + 30 = 0$.

Разделим все уравнение на 3: $x^2 - 7x + 10 = 0$.
По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.

Находим соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 7 - 2 = 5$.
Если $x_2 = 5$, то $y_2 = 7 - 5 = 2$.

Ответ: $(2, 5), (5, 2)$.

3)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x^2 - 2xy + x = -9 \\ 2y - 3x = 1 \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$: $2y = 1 + 3x$
$y = \frac{1 + 3x}{2}$.

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение: $2x^2 - 2x\left(\frac{1 + 3x}{2}\right) + x = -9$
$2x^2 - x(1 + 3x) + x = -9$
$2x^2 - x - 3x^2 + x = -9$.

Приводим подобные слагаемые: $-x^2 = -9$
$x^2 = 9$.

Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $y$:
При $x_1 = 3$, $y_1 = \frac{1 + 3(3)}{2} = \frac{1+9}{2} = 5$.
При $x_2 = -3$, $y_2 = \frac{1 + 3(-3)}{2} = \frac{1-9}{2} = -4$.

Ответ: $(3, 5), (-3, -4)$.

4)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + 6xy + 8y^2 = 91 \\ x + 3y - 10 = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x$: $x = 10 - 3y$.

Подставим это выражение в первое уравнение: $(10 - 3y)^2 + 6(10 - 3y)y + 8y^2 = 91$.

Раскроем скобки и приведем подобные члены: $(100 - 60y + 9y^2) + (60y - 18y^2) + 8y^2 = 91$
$100 - 60y + 9y^2 + 60y - 18y^2 + 8y^2 = 91$
$(9-18+8)y^2 + (-60+60)y + 100 = 91$
$-y^2 + 100 = 91$.

Решаем полученное уравнение: $-y^2 = 91 - 100$
$-y^2 = -9$
$y^2 = 9$.

Отсюда получаем два значения для $y$: $y_1 = 3$ и $y_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $x$:
При $y_1 = 3$, $x_1 = 10 - 3(3) = 10 - 9 = 1$.
При $y_2 = -3$, $x_2 = 10 - 3(-3) = 10 + 9 = 19$.

Ответ: $(1, 3), (19, -3)$.

580. 1) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ xy = 3; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 19, \\ xy = 15; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 + 4xy + y^2 = 94, \\ xy = 15; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x^2 - 6xy + y^2 = 8, \\ xy = 7. \end{cases} $

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ xy = 3 \end{cases} $

Это симметрическая система. Для её решения удобно использовать формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Выразим $x^2+y^2$ и подставим известные значения из системы:

$(x+y)^2 = (x^2 + y^2) + 2xy = 10 + 2 \cdot 3 = 16$.

Из этого следует, что $x+y = \sqrt{16} = 4$ или $x+y = -\sqrt{16} = -4$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x+y = 4$ и $xy = 3$.

Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 3$.

Следовательно, решениями являются пары $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Случай 2: $x+y = -4$ и $xy = 3$.

В этом случае $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - (-4)t + 3 = 0$, то есть $t^2 + 4t + 3 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = -1$, $t_2 = -3$.

Следовательно, решениями являются пары $(-1, -3)$ и $(-3, -1)$.

Ответ: $(1, 3)$, $(3, 1)$, $(-1, -3)$, $(-3, -1)$.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 19 \\ xy = 15 \end{cases} $

Подставим значение $xy$ из второго уравнения в первое:

$x^2 - 15 + y^2 = 19$.

Отсюда получаем $x^2 + y^2 = 19 + 15 = 34$.

Теперь система сводится к виду:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 34 \\ xy = 15 \end{cases} $

Как и в предыдущем задании, найдем $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 34 + 2 \cdot 15 = 34 + 30 = 64$.

Значит, $x+y = 8$ или $x+y = -8$.

Случай 1: $x+y=8$ и $xy=15$.

$x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - 8t + 15 = 0$. Корни: $t_1=3, t_2=5$. Решения: $(3, 5)$ и $(5, 3)$.

Случай 2: $x+y=-8$ и $xy=15$.

$x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 + 8t + 15 = 0$. Корни: $t_1=-3, t_2=-5$. Решения: $(-3, -5)$ и $(-5, -3)$.

Ответ: $(3, 5)$, $(5, 3)$, $(-3, -5)$, $(-5, -3)$.

3) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + 4xy + y^2 = 94 \\ xy = 15 \end{cases} $

Подставим значение $xy=15$ из второго уравнения в первое:

$x^2 + 4(15) + y^2 = 94$.

$x^2 + 60 + y^2 = 94$.

$x^2 + y^2 = 94 - 60 = 34$.

В результате мы получаем систему, которая полностью совпадает с преобразованной системой из пункта 2):

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 34 \\ xy = 15 \end{cases} $

Следовательно, решения этой системы будут такими же.

Ответ: $(3, 5)$, $(5, 3)$, $(-3, -5)$, $(-5, -3)$.

4) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 6xy + y^2 = 8 \\ xy = 7 \end{cases} $

Подставим $xy=7$ в первое уравнение:

$x^2 - 6(7) + y^2 = 8$.

$x^2 - 42 + y^2 = 8$.

$x^2 + y^2 = 8 + 42 = 50$.

Решаем новую систему:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 50 \\ xy = 7 \end{cases} $

Найдем $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 50 + 2 \cdot 7 = 50 + 14 = 64$.

Отсюда $x+y = 8$ или $x+y = -8$.

Случай 1: $x+y=8$ и $xy=7$.

$x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - 8t + 7 = 0$. Корни: $t_1=1, t_2=7$. Решения: $(1, 7)$ и $(7, 1)$.

Случай 2: $x+y=-8$ и $xy=7$.

$x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 + 8t + 7 = 0$. Корни: $t_1=-1, t_2=-7$. Решения: $(-1, -7)$ и $(-7, -1)$.

Ответ: $(1, 7)$, $(7, 1)$, $(-1, -7)$, $(-7, -1)$.

581. 1)$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1, \\ x + y = 4; \end{cases}$

2)$\begin{cases} \frac{x+y}{x-y} = \frac{3}{2}, \\ xy = 80; \end{cases}$

3)$\begin{cases} x - y = 3, \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -0,3; \end{cases}$

4)$\begin{cases} x + y = 9, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 0,5. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \\ x + y = 4 \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0, y \neq 0$.

Преобразуем первое уравнение системы, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{y+x}{xy} = 1$

Из второго уравнения системы мы знаем, что $x+y=4$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$\frac{4}{xy} = 1$

Отсюда следует, что $xy = 4$.

Теперь мы имеем более простую систему уравнений:

$\begin{cases} x+y=4 \\ xy=4 \end{cases}$

Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставим известные нам значения суммы и произведения:

$t^2 - 4t + 4 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(t-2)^2 = 0$

Отсюда $t=2$. Так как корень один, то $x=y=2$.

Проверим решение, подставив значения в исходную систему:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ (верно)

$2+2=4$ (верно)

Ответ: $(2; 2)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{x+y}{x-y} = \frac{3}{2} \\ xy = 80 \end{cases}$

ОДЗ: $x-y \neq 0 \implies x \neq y$. Также из второго уравнения $x \neq 0, y \neq 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство пропорции (перекрестное умножение):

$2(x+y) = 3(x-y)$

$2x+2y = 3x-3y$

$5y = x$

Теперь подставим выражение $x=5y$ во второе уравнение системы:

$(5y)y = 80$

$5y^2 = 80$

$y^2 = 16$

Отсюда $y_1 = 4$ и $y_2 = -4$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 4$, то $x_1 = 5y_1 = 5 \cdot 4 = 20$.

Если $y_2 = -4$, то $x_2 = 5y_2 = 5 \cdot (-4) = -20$.

Мы получили две пары решений: $(20; 4)$ и $(-20; -4)$. Обе пары удовлетворяют ОДЗ.

Проверим первую пару $(20; 4)$:

$\frac{20+4}{20-4} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$ (верно)

$20 \cdot 4 = 80$ (верно)

Проверим вторую пару $(-20; -4)$:

$\frac{-20+(-4)}{-20-(-4)} = \frac{-24}{-16} = \frac{3}{2}$ (верно)

$(-20) \cdot (-4) = 80$ (верно)

Ответ: $(20; 4)$, $(-20; -4)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - y = 3 \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -0,3 \end{cases}$

ОДЗ: $x \neq 0, y \neq 0$.

Преобразуем второе уравнение, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{y-x}{xy} = -0,3$

Заметим, что $y-x = -(x-y)$. Из первого уравнения $x-y=3$, следовательно $y-x = -3$. Подставим это значение:

$\frac{-3}{xy} = -0,3$

$\frac{-3}{xy} = -\frac{3}{10}$

Отсюда следует, что $xy = 10$.

Теперь решаем систему:

$\begin{cases} x - y = 3 \\ xy = 10 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y+3$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(y+3)y = 10$

$y^2 + 3y - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1=2, y_2=-5$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2+3 = 5$.

Если $y_2 = -5$, то $x_2 = -5+3 = -2$.

Получили две пары решений: $(5; 2)$ и $(-2; -5)$.

Проверка для $(5; 2)$: $5-2=3$ (верно), $\frac{1}{5} - \frac{1}{2} = \frac{2-5}{10} = -0,3$ (верно).

Проверка для $(-2; -5)$: $-2 - (-5) = 3$ (верно), $\frac{1}{-2} - \frac{1}{-5} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{-5+2}{10} = -0,3$ (верно).

Ответ: $(5; 2)$, $(-2; -5)$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x+y=9 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 0,5 \end{cases}$

ОДЗ: $x \neq 0, y \neq 0$.

Преобразуем второе уравнение, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{y+x}{xy} = 0,5$

Из первого уравнения известно, что $x+y=9$. Подставим это значение:

$\frac{9}{xy} = 0,5$

$\frac{9}{xy} = \frac{1}{2}$

Отсюда $xy = 9 \cdot 2 = 18$.

Теперь мы имеем систему:

$\begin{cases} x+y=9 \\ xy=18 \end{cases}$

Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

$t^2 - 9t + 18 = 0$

Решим это уравнение. Корни можно найти по теореме Виета: $t_1+t_2=9, t_1 \cdot t_2=18$. Корни $t_1=3, t_2=6$.

Это означает, что решениями системы являются пары чисел $(3; 6)$ и $(6; 3)$.

Проверим пару $(3; 6)$:

$3+6=9$ (верно)

$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = 0,5$ (верно)

Поскольку уравнения симметричны относительно $x$ и $y$, пара $(6; 3)$ также является решением.

Ответ: $(3; 6)$, $(6; 3)$.

582. 1) $ \begin{cases} x^2 - y = 7, \\ x^2y = 18; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 2x^2 + y = 3, \\ x^2y - 1 = 0; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 12, \\ x^2 + y^2 = 20; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 21, \\ x^2 + y^2 = 29. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y = 7 \\ x^2y = 18 \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать метод замены переменной. Пусть $a = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $a \ge 0$.

С новой переменной система уравнений принимает вид:

$\begin{cases} a - y = 7 \\ ay = 18 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим переменную $a$ через $y$:

$a = 7 + y$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(7 + y)y = 18$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$7y + y^2 = 18$

$y^2 + 7y - 18 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2$

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2} = \frac{-7 - 11}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

$y_2 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2} = \frac{-7 + 11}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующее значение $a$.

1. При $y_1 = -9$:

$a_1 = 7 + y_1 = 7 + (-9) = -2$.

Так как мы ввели условие $a = x^2 \ge 0$, значение $a = -2$ не подходит. Следовательно, $y = -9$ не приводит к действительным решениям.

2. При $y_2 = 2$:

$a_2 = 7 + y_2 = 7 + 2 = 9$.

Это значение удовлетворяет условию $a \ge 0$. Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

$x^2 = a_2 = 9$

Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Таким образом, система имеет два решения: $(3, 2)$ и $(-3, 2)$.

Ответ: $(3, 2), (-3, 2)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x^2 + y = 3 \\ x^2y - 1 = 0 \end{cases}$

Перепишем второе уравнение в виде $x^2y = 1$. Сделаем замену переменной $a = x^2$, где $a \ge 0$.

Система примет вид:

$\begin{cases} 2a + y = 3 \\ ay = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 3 - 2a$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$a(3 - 2a) = 1$

$3a - 2a^2 = 1$

$2a^2 - 3a + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $a$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

Корни уравнения:

$a_1 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$a_2 = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Оба значения $a$ положительны и подходят по условию $a \ge 0$. Найдем соответствующие значения $x$ и $y$ для каждого случая.

1. При $a_1 = \frac{1}{2}$:

$x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

$y_1 = 3 - 2a_1 = 3 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 - 1 = 2$

Получаем два решения: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 2)$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 2)$.

2. При $a_2 = 1$:

$x^2 = 1 \implies x = \pm 1$

$y_2 = 3 - 2a_2 = 3 - 2 \cdot 1 = 1$

Получаем еще два решения: $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

Ответ: $(1, 1), (-1, 1), (\frac{\sqrt{2}}{2}, 2), (-\frac{\sqrt{2}}{2}, 2)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 12 \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}$

Эта система решается методом замены или сложения. Введем новые переменные $a = x^2$ и $b = y^2$. Условия: $a \ge 0, b \ge 0$.

Система в новых переменных:

$\begin{cases} a - b = 12 \\ a + b = 20 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения:

$(a - b) + (a + b) = 12 + 20$

$2a = 32 \implies a = 16$

Подставим значение $a=16$ в любое из уравнений системы, например, во второе:

$16 + b = 20 \implies b = 4$

Оба значения $a=16$ и $b=4$ неотрицательны. Вернемся к исходным переменным:

$x^2 = 16 \implies x = \pm 4$

$y^2 = 4 \implies y = \pm 2$

Поскольку в исходные уравнения переменные входят только в квадрате, любая комбинация знаков для $x$ и $y$ будет давать верное равенство. Таким образом, получаем четыре решения.

Ответ: $(4, 2), (4, -2), (-4, 2), (-4, -2)$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 21 \\ x^2 + y^2 = 29 \end{cases}$

Как и в предыдущем примере, введем переменные $a = x^2$ и $b = y^2$ ($a \ge 0, b \ge 0$).

Система примет вид:

$\begin{cases} a - b = 21 \\ a + b = 29 \end{cases}$

Сложим уравнения:

$(a - b) + (a + b) = 21 + 29$

$2a = 50 \implies a = 25$

Подставим $a=25$ во второе уравнение:

$25 + b = 29 \implies b = 4$

Выполним обратную замену:

$x^2 = 25 \implies x = \pm 5$

$y^2 = 4 \implies y = \pm 2$

Комбинируя все возможные знаки для $x$ и $y$, получаем четыре решения.

Ответ: $(5, 2), (5, -2), (-5, 2), (-5, -2)$.

583. 1) $\begin{cases} x^3 + y^3 = 28, \\ xy^2 + x^2y = 12; \end{cases}$

2) $\begin{cases} xy^2 + xy^3 = 10, \\ x + xy = 10. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^3 + y^3 = 28 \\ xy^2 + x^2y = 12 \end{cases} $$

Преобразуем второе уравнение, вынеся за скобки общий множитель $xy$:

$xy(x+y) = 12$

Теперь преобразуем первое уравнение, используя формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$.

$(x+y)^3 - 3xy(x+y) = 28$

Сделаем замену переменных. Пусть $s = x+y$ и $p = xy$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} s^3 - 3sp = 28 \\ sp = 12 \end{cases} $$

Подставим значение $sp$ из второго уравнения в первое:

$s^3 - 3(12) = 28$

$s^3 - 36 = 28$

$s^3 = 64$

$s = 4$

Теперь найдем $p$ из уравнения $sp = 12$:

$4p = 12$

$p = 3$

Мы получили систему для $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x + y = 4 \\ xy = 3 \end{cases} $$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$.

Решим это уравнение. Его можно разложить на множители: $(t-1)(t-3) = 0$.

Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Следовательно, решениями исходной системы являются пары чисел $(1, 3)$ и $(3, 1)$, так как система симметрична относительно $x$ и $y$.

Ответ: $(1, 3), (3, 1)$.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} xy^2 + xy^3 = 10 \\ x + xy = 10 \end{cases} $$

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$$ \begin{cases} xy^2(1 + y) = 10 \quad (1) \\ x(1 + y) = 10 \quad (2) \end{cases} $$

Из уравнения (2) следует, что $x \neq 0$ и $1+y \neq 0$ (т.е. $y \neq -1$), так как их произведение равно 10.

Поскольку правые части обоих уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:

$xy^2(1 + y) = x(1 + y)$

Так как мы установили, что $x \neq 0$ и $1+y \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $x(1+y)$:

$y^2 = 1$

Отсюда получаем $y = 1$ или $y = -1$. Но так как $y \neq -1$, единственным возможным значением является $y=1$.

Подставим $y=1$ во второе уравнение исходной системы:

$x(1 + 1) = 10$

$2x = 10$

$x = 5$

Получаем решение $(5, 1)$. Выполним проверку, подставив значения в первое уравнение:

$5 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1^3 = 5 + 5 = 10$. Равенство верное.

Ответ: $(5, 1)$.

584. 1) $\begin{cases} x^3 + 27y^3 = 54, \\ x^2 - 3xy + 9y^2 = 9; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 19, \\ x^2 + xy + y^2 = 49; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^3 - y^3 = 72, \\ x - y = 6; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + 5xy + y^2 = 25, \\ 5x + y = 8. \end{cases}$

1)Дана система уравнений:$\begin{cases}x^3 + 27y^3 = 54, \\x^2 - 3xy + 9y^2 = 9;\end{cases}$
Первое уравнение представляет собой сумму кубов $x^3 + (3y)^3$. Используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
$x^3 + (3y)^3 = (x+3y)(x^2 - x(3y) + (3y)^2) = (x+3y)(x^2 - 3xy + 9y^2)$.
Подставим это в первое уравнение системы:$(x+3y)(x^2 - 3xy + 9y^2) = 54$.
Теперь подставим второе уравнение системы, $x^2 - 3xy + 9y^2 = 9$, в полученное выражение:$(x+3y) \cdot 9 = 54$.
Отсюда находим:$x+3y = 54/9$,$x+3y = 6$.
Теперь мы имеем новую, более простую систему:$\begin{cases}x+3y = 6, \\x^2 - 3xy + 9y^2 = 9.\end{cases}$
Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 6 - 3y$.
Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:$(6 - 3y)^2 - 3(6 - 3y)y + 9y^2 = 9$.
Раскроем скобки и упростим:$(36 - 36y + 9y^2) - (18y - 9y^2) + 9y^2 = 9$.$36 - 36y + 9y^2 - 18y + 9y^2 + 9y^2 = 9$.
Приведем подобные члены:$27y^2 - 54y + 36 = 9$.$27y^2 - 54y + 27 = 0$.
Разделим уравнение на 27:$y^2 - 2y + 1 = 0$.
Это полный квадрат: $(y-1)^2 = 0$.Отсюда $y=1$.
Найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x = 6 - 3y$:$x = 6 - 3(1) = 3$.
Решение системы: $(3, 1)$.

Ответ: $(3, 1)$.

2)Дана система уравнений:$\begin{cases}x^2 - xy + y^2 = 19, \\x^2 + xy + y^2 = 49;\end{cases}$
Сложим два уравнения системы:$(x^2 - xy + y^2) + (x^2 + xy + y^2) = 19 + 49$.$2x^2 + 2y^2 = 68$.$x^2 + y^2 = 34$.
Вычтем первое уравнение из второго:$(x^2 + xy + y^2) - (x^2 - xy + y^2) = 49 - 19$.$2xy = 30$.$xy = 15$.
Получили новую систему:$\begin{cases}x^2 + y^2 = 34, \\xy = 15.\end{cases}$
Теперь можно найти $(x+y)^2$ и $(x-y)^2$:$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = (x^2+y^2) + 2xy = 34 + 2(15) = 64$.Следовательно, $x+y = \pm 8$.
$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = (x^2+y^2) - 2xy = 34 - 2(15) = 4$.Следовательно, $x-y = \pm 2$.
Получаем четыре системы линейных уравнений:
1. $\begin{cases} x+y=8 \\ x-y=2 \end{cases} \implies 2x=10, x=5 \implies y=3$. Решение $(5, 3)$.
2. $\begin{cases} x+y=8 \\ x-y=-2 \end{cases} \implies 2x=6, x=3 \implies y=5$. Решение $(3, 5)$.
3. $\begin{cases} x+y=-8 \\ x-y=2 \end{cases} \implies 2x=-6, x=-3 \implies y=-5$. Решение $(-3, -5)$.
4. $\begin{cases} x+y=-8 \\ x-y=-2 \end{cases} \implies 2x=-10, x=-5 \implies y=-3$. Решение $(-5, -3)$.

Ответ: $(5, 3), (-5, -3), (3, 5), (-3, -5)$.

3)Дана система уравнений:$\begin{cases}x^3 - y^3 = 72, \\x - y = 6;\end{cases}$
Используем формулу разности кубов для первого уравнения: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.$(x-y)(x^2 + xy + y^2) = 72$.
Подставим второе уравнение $x-y=6$ в это выражение:$6(x^2 + xy + y^2) = 72$.
Разделим обе части на 6:$x^2 + xy + y^2 = 12$.
Теперь решим систему:$\begin{cases}x - y = 6, \\x^2 + xy + y^2 = 12.\end{cases}$
Из первого уравнения выразим $x$: $x = y + 6$.
Подставим это во второе уравнение:$(y + 6)^2 + (y + 6)y + y^2 = 12$.
Раскроем скобки:$(y^2 + 12y + 36) + (y^2 + 6y) + y^2 = 12$.
Приведем подобные члены:$3y^2 + 18y + 36 = 12$.$3y^2 + 18y + 24 = 0$.
Разделим уравнение на 3:$y^2 + 6y + 8 = 0$.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1 = -2$, $y_2 = -4$.
Найдем соответствующие значения $x$:Если $y_1 = -2$, то $x_1 = -2 + 6 = 4$.Если $y_2 = -4$, то $x_2 = -4 + 6 = 2$.
Получаем два решения.

Ответ: $(4, -2), (2, -4)$.

4)Дана система уравнений:$\begin{cases}x^2 + 5xy + y^2 = 25, \\5x + y = 8.\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:$y = 8 - 5x$.
Подставим это выражение в первое уравнение:$x^2 + 5x(8 - 5x) + (8 - 5x)^2 = 25$.
Раскроем скобки и упростим:$x^2 + 40x - 25x^2 + (64 - 80x + 25x^2) = 25$.$x^2 + 40x - 25x^2 + 64 - 80x + 25x^2 = 25$.
Приведем подобные члены (слагаемые $-25x^2$ и $25x^2$ взаимно уничтожаются):$x^2 - 40x + 64 = 25$.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$x^2 - 40x + 39 = 0$.
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 40, произведение равно 39. Корни легко находятся: $x_1 = 1$, $x_2 = 39$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя $y = 8 - 5x$:Для $x_1 = 1$:$y_1 = 8 - 5(1) = 8 - 5 = 3$.
Для $x_2 = 39$:$y_2 = 8 - 5(39) = 8 - 195 = -187$.
Получаем два решения.

Ответ: $(1, 3), (39, -187)$.

585. 1) $ \begin{cases} x + y = 41, \\ \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{41}{20}; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x + y = 10, \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x + y = 5, \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x - y = 13, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 41 \\ \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{41}{20} \end{cases} $$ Из наличия квадратных корней и дробей следует, что $x$ и $y$ должны быть одного знака и не равны нулю. Так как их сумма $x+y=41$ положительна, то $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем второе уравнение системы. Приведем дроби под корнями к общему знаменателю: $$ \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x})^2 + (\sqrt{y})^2}{\sqrt{x}\sqrt{y}} = \frac{x+y}{\sqrt{xy}} $$ Теперь второе уравнение имеет вид: $$ \frac{x+y}{\sqrt{xy}} = \frac{41}{20} $$

Подставим в это уравнение значение $x+y$ из первого уравнения системы: $$ \frac{41}{\sqrt{xy}} = \frac{41}{20} $$ Разделим обе части на 41: $$ \frac{1}{\sqrt{xy}} = \frac{1}{20} \implies \sqrt{xy} = 20 $$ Возведем обе части в квадрат: $$ xy = 400 $$

Теперь мы имеем более простую систему: $$ \begin{cases} x + y = 41 \\ xy = 400 \end{cases} $$ Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 41t + 400 = 0$. Найдем корни этого уравнения по формуле корней квадратного уравнения: $$ t = \frac{-(-41) \pm \sqrt{(-41)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 400}}{2 \cdot 1} = \frac{41 \pm \sqrt{1681 - 1600}}{2} = \frac{41 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{41 \pm 9}{2} $$ Получаем два корня: $t_1 = \frac{41+9}{2} = 25$ $t_2 = \frac{41-9}{2} = 16$

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(16, 25)$ и $(25, 16)$.
Ответ: $(16, 25), (25, 16)$.

2)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 10 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4 \end{cases} $$ Область допустимых значений: $x \ge 0$, $y \ge 0$.

Возведем второе уравнение в квадрат: $$ (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = 4^2 $$ $$ x + 2\sqrt{xy} + y = 16 $$ Сгруппируем слагаемые: $$ (x+y) + 2\sqrt{xy} = 16 $$ Подставим значение $x+y$ из первого уравнения системы: $$ 10 + 2\sqrt{xy} = 16 $$ $$ 2\sqrt{xy} = 6 $$ $$ \sqrt{xy} = 3 $$ Возведя в квадрат, получим $xy = 9$.

Теперь решаем систему: $$ \begin{cases} x + y = 10 \\ xy = 9 \end{cases} $$ По теореме Виета, $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - 10t + 9 = 0$. Это уравнение легко решается разложением на множители: $(t-1)(t-9) = 0$. Корни: $t_1 = 1, t_2 = 9$.

Следовательно, решениями системы являются пары $(1, 9)$ и $(9, 1)$.
Ответ: $(1, 9), (9, 1)$.

3)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 5 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3 \end{cases} $$ Область допустимых значений: $x \ge 0$, $y \ge 0$.

Возведем второе уравнение в квадрат: $$ (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = 3^2 $$ $$ x + 2\sqrt{xy} + y = 9 $$ $$ (x+y) + 2\sqrt{xy} = 9 $$ Подставим $x+y=5$ из первого уравнения: $$ 5 + 2\sqrt{xy} = 9 $$ $$ 2\sqrt{xy} = 4 $$ $$ \sqrt{xy} = 2 $$ Отсюда $xy = 4$.

Решаем систему: $$ \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 4 \end{cases} $$ По теореме Виета, $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$. Разложим на множители: $(t-1)(t-4) = 0$. Корни: $t_1 = 1, t_2 = 4$.

Решениями системы являются пары $(1, 4)$ и $(4, 1)$.
Ответ: $(1, 4), (4, 1)$.

4)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - y = 13 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \end{cases} $$ Область допустимых значений: $x \ge 0$, $y \ge 0$. Также из второго уравнения $\sqrt{x} > \sqrt{y}$, что означает $x > y$.

Воспользуемся формулой разности квадратов для первого уравнения: $$ x - y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) $$ Подставим известные значения из системы: $$ 13 = (1) \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{y}) $$ Отсюда получаем новое уравнение: $$ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 13 $$

Теперь у нас есть система линейных уравнений относительно $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$: $$ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 13 \end{cases} $$ Сложим два уравнения: $$ (\sqrt{x} - \sqrt{y}) + (\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 1 + 13 $$ $$ 2\sqrt{x} = 14 \implies \sqrt{x} = 7 $$ Возведя в квадрат, получаем $x = 49$.

Подставим $\sqrt{x} = 7$ во второе уравнение новой системы: $$ 7 + \sqrt{y} = 13 \implies \sqrt{y} = 6 $$ Возведя в квадрат, получаем $y = 36$.

Решением системы является пара $(49, 36)$.
Ответ: $(49, 36)$.

586. 1) $\begin{cases} yz = 15, \\ xz = 10, \\ y^2 + z^2 = 34; \end{cases}$

2) $\begin{cases} xz + yz = 16, \\ xy + yz = 15, \\ xz + xy = 7. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}yz = 15, \\xz = 10, \\y^2 + z^2 = 34;\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $z$ (поскольку $yz=15$, то $z \ne 0$):

$y = \frac{15}{z}$

Подставим это выражение в третье уравнение системы:

$(\frac{15}{z})^2 + z^2 = 34$

$\frac{225}{z^2} + z^2 = 34$

Умножим обе части уравнения на $z^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$225 + z^4 = 34z^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить биквадратное уравнение:

$z^4 - 34z^2 + 225 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = z^2$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид:

$t^2 - 34t + 225 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 34, а их произведение равно 225. Легко подобрать корни $t_1 = 9$ и $t_2 = 25$. Или, используя формулу для корней:

$D = (-34)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 225 = 1156 - 900 = 256 = 16^2$

$t_{1,2} = \frac{34 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{34 \pm 16}{2}$

Отсюда $t_1 = \frac{34+16}{2} = 25$ и $t_2 = \frac{34-16}{2} = 9$.

Оба корня положительные, поэтому возвращаемся к замене $z^2 = t$:

1. $z^2 = 25 \Rightarrow z = 5$ или $z = -5$.

2. $z^2 = 9 \Rightarrow z = 3$ или $z = -3$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ и $x$ для каждого из четырех найденных значений $z$.

• Случай 1: $z = 5$

  Из $yz=15$: $y \cdot 5 = 15 \Rightarrow y = 3$.

  Из $xz=10$: $x \cdot 5 = 10 \Rightarrow x = 2$.

  Первое решение: $(2, 3, 5)$.

• Случай 2: $z = -5$

  Из $yz=15$: $y \cdot (-5) = 15 \Rightarrow y = -3$.

  Из $xz=10$: $x \cdot (-5) = 10 \Rightarrow x = -2$.

  Второе решение: $(-2, -3, -5)$.

• Случай 3: $z = 3$

  Из $yz=15$: $y \cdot 3 = 15 \Rightarrow y = 5$.

  Из $xz=10$: $x \cdot 3 = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{3}$.

  Третье решение: $(\frac{10}{3}, 5, 3)$.

• Случай 4: $z = -3$

  Из $yz=15$: $y \cdot (-3) = 15 \Rightarrow y = -5$.

  Из $xz=10$: $x \cdot (-3) = 10 \Rightarrow x = -\frac{10}{3}$.

  Четвертое решение: $(-\frac{10}{3}, -5, -3)$.

Ответ: $(2, 3, 5)$, $(-2, -3, -5)$, $(\frac{10}{3}, 5, 3)$, $(-\frac{10}{3}, -5, -3)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}xz + yz = 16, \\xy + yz = 15, \\xz + xy = 7.\end{cases}$

Сложим все три уравнения системы:

$(xz + yz) + (xy + yz) + (xz + xy) = 16 + 15 + 7$

$2xz + 2yz + 2xy = 38$

Разделим обе части на 2:

$xy + yz + xz = 19$

Теперь будем вычитать из полученного уравнения каждое уравнение исходной системы поочередно.

1. Вычтем первое уравнение $(xz + yz = 16)$:

$(xy + yz + xz) - (xz + yz) = 19 - 16 \Rightarrow xy = 3$.

2. Вычтем второе уравнение $(xy + yz = 15)$:

$(xy + yz + xz) - (xy + yz) = 19 - 15 \Rightarrow xz = 4$.

3. Вычтем третье уравнение $(xz + xy = 7)$:

$(xy + yz + xz) - (xz + xy) = 19 - 7 \Rightarrow yz = 12$.

Мы получили новую, более простую систему:

$\begin{cases}xy = 3, \\xz = 4, \\yz = 12.\end{cases}$

Перемножим все три уравнения этой новой системы:

$(xy) \cdot (xz) \cdot (yz) = 3 \cdot 4 \cdot 12$

$x^2 y^2 z^2 = 144$

$(xyz)^2 = 144$

Отсюда следует, что $xyz = \pm \sqrt{144} = \pm 12$. Рассмотрим два случая.

• Случай 1: $xyz = 12$

  Чтобы найти $x$, разделим $xyz$ на $yz$: $x = \frac{xyz}{yz} = \frac{12}{12} = 1$.

  Чтобы найти $y$, разделим $xyz$ на $xz$: $y = \frac{xyz}{xz} = \frac{12}{4} = 3$.

  Чтобы найти $z$, разделим $xyz$ на $xy$: $z = \frac{xyz}{xy} = \frac{12}{3} = 4$.

  Получаем первое решение: $(1, 3, 4)$.

• Случай 2: $xyz = -12$

  Аналогично находим переменные:

  $x = \frac{xyz}{yz} = \frac{-12}{12} = -1$.

  $y = \frac{xyz}{xz} = \frac{-12}{4} = -3$.

  $z = \frac{xyz}{xy} = \frac{-12}{3} = -4$.

  Получаем второе решение: $(-1, -3, -4)$.

Проверкой можно убедиться, что оба набора чисел удовлетворяют исходной системе.

Ответ: $(1, 3, 4)$, $(-1, -3, -4)$.