Страница 232 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Какая из пар чисел (1; 4), (-2; 3), (-1; -3) обращает в верное числовое равенство уравнение:

1) $5x + 2y = -4$;

2) $15x - 4y = -3$;

3) $7x - \frac{1}{2}y = 5?$

Чтобы определить, какая из пар чисел является решением уравнения, нужно подставить значения $x$ и $y$ из каждой пары в уравнение и проверить, выполняется ли равенство.

1) $5x + 2y = -4$

Проверим каждую пару чисел:

• Для пары $(1; 4)$, где $x=1, y=4$:
  Подставляем в уравнение: $5 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 5 + 8 = 13$.
  Так как $13 \neq -4$, пара не является решением.

• Для пары $(-2; 3)$, где $x=-2, y=3$:
  Подставляем в уравнение: $5 \cdot (-2) + 2 \cdot 3 = -10 + 6 = -4$.
  Так как $-4 = -4$, равенство верное. Эта пара является решением.

• Для пары $(-1; -3)$, где $x=-1, y=-3$:
  Подставляем в уравнение: $5 \cdot (-1) + 2 \cdot (-3) = -5 - 6 = -11$.
  Так как $-11 \neq -4$, пара не является решением.

Ответ: $(-2; 3)$.

2) $15x - 4y = -3$

Проверим каждую пару чисел:

• Для пары $(1; 4)$, где $x=1, y=4$:
  Подставляем в уравнение: $15 \cdot 1 - 4 \cdot 4 = 15 - 16 = -1$.
  Так как $-1 \neq -3$, пара не является решением.

• Для пары $(-2; 3)$, где $x=-2, y=3$:
  Подставляем в уравнение: $15 \cdot (-2) - 4 \cdot 3 = -30 - 12 = -42$.
  Так как $-42 \neq -3$, пара не является решением.

• Для пары $(-1; -3)$, где $x=-1, y=-3$:
  Подставляем в уравнение: $15 \cdot (-1) - 4 \cdot (-3) = -15 + 12 = -3$.
  Так как $-3 = -3$, равенство верное. Эта пара является решением.

Ответ: $(-1; -3)$.

3) $7x - \frac{1}{2}y = 5$

Проверим каждую пару чисел:

• Для пары $(1; 4)$, где $x=1, y=4$:
  Подставляем в уравнение: $7 \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 4 = 7 - 2 = 5$.
  Так как $5 = 5$, равенство верное. Эта пара является решением.

• Для пары $(-2; 3)$, где $x=-2, y=3$:
  Подставляем в уравнение: $7 \cdot (-2) - \frac{1}{2} \cdot 3 = -14 - 1.5 = -15.5$.
  Так как $-15.5 \neq 5$, пара не является решением.

• Для пары $(-1; -3)$, где $x=-1, y=-3$:
  Подставляем в уравнение: $7 \cdot (-1) - \frac{1}{2} \cdot (-3) = -7 + 1.5 = -5.5$.
  Так как $-5.5 \neq 5$, пара не является решением.

Ответ: $(1; 4)$.

2. Построить график функции $y = -\frac{1}{2}x + 3.$

Заданная функция $y = -\frac{1}{2}x + 3$ является линейной функцией общего вида $y = kx + b$. Графиком такой функции является прямая линия.

Для построения прямой на координатной плоскости достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой. Составим таблицу значений для двух точек.

1. Возьмем $x = 0$. Подставим это значение в уравнение функции, чтобы найти соответствующий $y$:
$y = -\frac{1}{2} \cdot 0 + 3 = 0 + 3 = 3$
Таким образом, первая точка имеет координаты $(0, 3)$. Эта точка является точкой пересечения графика с осью ординат (OY).

2. Возьмем $x = 2$ для удобства вычислений (чтобы избежать дробей). Подставим это значение в уравнение:
$y = -\frac{1}{2} \cdot 2 + 3 = -1 + 3 = 2$
Таким образом, вторая точка имеет координаты $(2, 2)$.

Теперь, имея две точки — $(0, 3)$ и $(2, 2)$ — мы можем построить график. Для этого нужно отметить эти точки в декартовой системе координат и провести через них прямую линию. Эта прямая и будет искомым графиком функции $y = -\frac{1}{2}x + 3$.

График представляет собой убывающую прямую (так как угловой коэффициент $k = -\frac{1}{2}$ отрицателен), пересекающую ось Y в точке $(0, 3)$ и ось X в точке $(6, 0)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = -\frac{1}{2}x + 3$ необходимо найти две точки, удовлетворяющие уравнению, например, $(0, 3)$ и $(2, 2)$, отметить их на координатной плоскости и провести через них прямую линию.

3. Решить систему уравнений способом подстановки:

1) $\begin{cases} x = 2y \\ 3x - 2y = 4 \end{cases};$

2) $\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 2y + x = 14 \end{cases};$

3) $\begin{cases} x + 5y = 9 \\ 3y - 2x = -5 \end{cases}.$

1) Дана система уравнений: $\begin{cases} x = 2y, \\ 3x - 2y = 4. \end{cases}$

В первом уравнении переменная $x$ уже выражена через $y$. Подставим это выражение ($x=2y$) во второе уравнение системы:

$3(2y) - 2y = 4$

Теперь решим полученное уравнение относительно $y$:

$6y - 2y = 4$

$4y = 4$

$y = 1$

Подставим найденное значение $y=1$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:

$x = 2 \cdot 1$

$x = 2$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(2; 1)$.

Ответ: $(2; 1)$.

2) Дана система уравнений: $\begin{cases} 2x - y = 3, \\ 2y + x = 14. \end{cases}$

Выразим переменную $y$ из первого уравнения:

$2x - y = 3 \implies y = 2x - 3$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$2(2x - 3) + x = 14$

Решим это уравнение относительно $x$:

$4x - 6 + x = 14$

$5x - 6 = 14$

$5x = 14 + 6$

$5x = 20$

$x = 4$

Теперь найдем значение $y$, подставив $x=4$ в выражение $y = 2x - 3$:

$y = 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5$

Решением системы является пара чисел $(4; 5)$.

Ответ: $(4; 5)$.

3) Дана система уравнений: $\begin{cases} x + 5y = 9, \\ 3y - 2x = -5. \end{cases}$

Выразим переменную $x$ из первого уравнения:

$x + 5y = 9 \implies x = 9 - 5y$

Подставим это выражение во второе уравнение системы (для удобства поменяем местами слагаемые: $3y - 2x = -2x + 3y$):

$3y - 2(9 - 5y) = -5$

Решим полученное уравнение относительно $y$:

$3y - 18 + 10y = -5$

$13y - 18 = -5$

$13y = 18 - 5$

$13y = 13$

$y = 1$

Теперь найдем значение $x$, подставив $y=1$ в выражение $x = 9 - 5y$:

$x = 9 - 5 \cdot 1 = 9 - 5 = 4$

Решением системы является пара чисел $(4; 1)$.

Ответ: $(4; 1)$.

4. Решить систему уравнений способом сложения:

1) $\begin{cases} x - y = 14, \\ x + y = 10; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x + y = 7, \\ 3x + y = 12; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2x - 3y + 8 = 0, \\ 4x - 2y + 4 = 0. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 14 \\ x + y = 10 \end{cases} $
В данной системе коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами ($-1$ и $1$). Поэтому, чтобы решить систему, можно сложить два уравнения.

Сложим левые и правые части уравнений почленно:

$(x - y) + (x + y) = 14 + 10$

$x + x - y + y = 24$

$2x = 24$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$x = \frac{24}{2}$

$x = 12$

Подставим найденное значение $x=12$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Удобнее всего подставить во второе уравнение ($x + y = 10$):

$12 + y = 10$

$y = 10 - 12$

$y = -2$

Решением системы является пара чисел $(12, -2)$.

Ответ: $(12, -2)$

2) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x + y = 12 \end{cases} $
В этой системе коэффициенты при переменной $y$ равны. Чтобы исключить $y$, можно вычесть одно уравнение из другого. Вычтем первое уравнение из второго.

$(3x + y) - (2x + y) = 12 - 7$

$3x + y - 2x - y = 5$

$x = 5$

Подставим найденное значение $x=5$ в первое исходное уравнение ($2x + y = 7$), чтобы найти $y$:

$2(5) + y = 7$

$10 + y = 7$

$y = 7 - 10$

$y = -3$

Решением системы является пара чисел $(5, -3)$.

Ответ: $(5, -3)$

3) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2x - 3y + 8 = 0 \\ 4x - 2y + 4 = 0 \end{cases} $
Сначала приведем уравнения к стандартному виду $ax + by = c$, перенеся свободные члены в правую часть:

$ \begin{cases} 2x - 3y = -8 \\ 4x - 2y = -4 \end{cases} $

Чтобы использовать метод сложения, нужно, чтобы коэффициенты при одной из переменных были противоположными числами. Умножим обе части первого уравнения на $-2$. Тогда коэффициент при $x$ станет $-4$, что является противоположностью коэффициенту $4$ во втором уравнении.

$-2 \cdot (2x - 3y) = -2 \cdot (-8)$

$-4x + 6y = 16$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(-4x + 6y) + (4x - 2y) = 16 + (-4)$

$-4x + 4x + 6y - 2y = 12$

$4y = 12$

Найдем $y$:

$y = \frac{12}{4}$

$y = 3$

Подставим найденное значение $y=3$ в первое исходное уравнение в стандартной форме ($2x - 3y = -8$):

$2x - 3(3) = -8$

$2x - 9 = -8$

$2x = -8 + 9$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Решением системы является пара чисел $(\frac{1}{2}, 3)$.

Ответ: $(\frac{1}{2}, 3)$

5. Решить графически систему уравнений $\begin{cases} 3x - y = 5, \\ 2x + y = 0. \end{cases}$

Чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Решением системы будет точка пересечения этих графиков. Оба уравнения в системе — линейные, следовательно, их графики — прямые.

Построение графика первого уравнения $3x - y = 5$

Для удобства построения выразим переменную y через x:

$-y = 5 - 3x$

$y = 3x - 5$

Теперь найдем координаты двух точек, чтобы построить прямую. Возьмем два произвольных значения x и вычислим соответствующие значения y.

Пусть $x = 1$. Тогда $y = 3 \cdot 1 - 5 = 3 - 5 = -2$. Первая точка: $(1; -2)$.

Пусть $x = 2$. Тогда $y = 3 \cdot 2 - 5 = 6 - 5 = 1$. Вторая точка: $(2; 1)$.

Построение графика второго уравнения $2x + y = 0$

Также выразим y через x:

$y = -2x$

Найдем координаты двух точек для этой прямой.

Пусть $x = 0$. Тогда $y = -2 \cdot 0 = 0$. Первая точка: $(0; 0)$.

Пусть $x = 1$. Тогда $y = -2 \cdot 1 = -2$. Вторая точка: $(1; -2)$.

Нахождение точки пересечения

Построим обе прямые на координатной плоскости. Первая прямая проходит через точки $(1; -2)$ и $(2; 1)$. Вторая прямая проходит через точки $(0; 0)$ и $(1; -2)$. Мы видим, что обе прямые проходят через точку $(1; -2)$, которая и является точкой их пересечения.

Проверка решения

Подставим координаты найденной точки $(1; -2)$ в оба уравнения исходной системы, чтобы проверить, является ли она решением.

Для первого уравнения $3x - y = 5$:

$3(1) - (-2) = 3 + 2 = 5$.

$5 = 5$. Равенство верное.

Для второго уравнения $2x + y = 0$:

$2(1) + (-2) = 2 - 2 = 0$.

$0 = 0$. Равенство верное.

Так как координаты точки удовлетворяют обоим уравнениям, решение найдено верно.

Ответ: $(1; -2)$.

6. Записать приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна 4, а произведение -21.

Для составления приведённого квадратного уравнения воспользуемся теоремой Виета. Общий вид приведённого квадратного уравнения (где коэффициент при $x^2$ равен 1) следующий: $x^2 + px + q = 0$.

Согласно теореме Виета, для такого уравнения сумма его корней ($x_1$ и $x_2$) равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$

В условии задачи указаны значения суммы и произведения корней:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 4$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -21$

Теперь найдём коэффициенты $p$ и $q$ для нашего уравнения.
Из соотношения для суммы корней имеем:
$-p = 4$
Следовательно, $p = -4$.

Из соотношения для произведения корней имеем:
$q = -21$.

Подставим найденные значения $p = -4$ и $q = -21$ в общую формулу приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$:
$x^2 + (-4)x + (-21) = 0$

Упростив выражение, получаем итоговое уравнение:
$x^2 - 4x - 21 = 0$

Ответ: $x^2 - 4x - 21 = 0$

559. Выяснить, сколько решений имеет система уравнений:

1) $\begin{cases} 5x + 20y = 4, \\ 0.25x + y = 0.2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{1}{3}x - y = 0.6, \\ x - 3y = 2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{3}{8}x - y = -11, \\ \frac{3}{8}y - x = 11. \end{cases}$

Чтобы определить количество решений системы линейных уравнений вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $, можно проанализировать соотношения коэффициентов при переменных и свободных членов.

• Если $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, система имеет одно единственное решение (графики уравнений — пересекающиеся прямые).
• Если $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, система не имеет решений (графики — параллельные прямые).
• Если $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, система имеет бесконечно много решений (графики — совпадающие прямые).

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 5x + 20y = 4 \\ 0,25x + y = 0,2 \end{cases} $

Определим коэффициенты для каждого уравнения:

$a_1 = 5, b_1 = 20, c_1 = 4$

$a_2 = 0,25, b_2 = 1, c_2 = 0,2$

Теперь найдем отношения этих коэффициентов:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{0,25} = \frac{5}{1/4} = 5 \cdot 4 = 20$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{20}{1} = 20$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{4}{0,2} = \frac{4}{2/10} = \frac{4}{1/5} = 4 \cdot 5 = 20$

Поскольку все три отношения равны ($\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$), уравнения в системе эквивалентны и описывают одну и ту же прямую. Это означает, что любая точка на этой прямой является решением.

Ответ: бесконечно много решений.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{3}x - y = 0,6 \\ x - 3y = 2 \end{cases} $

Определим коэффициенты:

$a_1 = \frac{1}{3}, b_1 = -1, c_1 = 0,6$

$a_2 = 1, b_2 = -3, c_2 = 2$

Найдем отношения коэффициентов:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1/3}{1} = \frac{1}{3}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{0,6}{2} = 0,3 = \frac{3}{10}$

Здесь отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ (так как $\frac{1}{3} \approx 0,333...$, а $\frac{3}{10} = 0,3$). Это условие соответствует параллельным прямым, которые никогда не пересекаются.

Ответ: нет решений.

3) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{3}{8}x - y = -11 \\ \frac{3}{8}y - x = 11 \end{cases} $

Для удобства анализа приведем второе уравнение к стандартному виду $ax + by = c$, поменяв местами слагаемые в левой части:

$-x + \frac{3}{8}y = 11$

Система принимает вид:

$ \begin{cases} \frac{3}{8}x - y = -11 \\ -x + \frac{3}{8}y = 11 \end{cases} $

Определим коэффициенты:

$a_1 = \frac{3}{8}, b_1 = -1, c_1 = -11$

$a_2 = -1, b_2 = \frac{3}{8}, c_2 = 11$

Найдем отношения коэффициентов при переменных:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3/8}{-1} = -\frac{3}{8}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{3/8} = -1 \cdot \frac{8}{3} = -\frac{8}{3}$

Так как отношения коэффициентов при переменных не равны ($\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$), графики уравнений являются прямыми, пересекающимися в одной точке.

Ответ: одно решение.

Решить систему уравнений (560–564).

560. 1) $\begin{cases} y = x + 6, \\ x^2 - 4y = -3 \end{cases}$;

2) $\begin{cases} x = 2 - y, \\ y^2 + x = 32 \end{cases}$;

3) $\begin{cases} x + 2y = 1, \\ x + y^2 = 4 \end{cases}$;

4) $\begin{cases} y - 3x = 2, \\ x^2 - 2y = 3 \end{cases}$.

1) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} y = x + 6 \\ x^2 - 4y = -3 \end{cases}$
Воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$x^2 - 4(x + 6) = -3$
Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 4x - 24 = -3$
$x^2 - 4x - 24 + 3 = 0$
$x^2 - 4x - 21 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-21$, а их сумма равна $4$. Подбором находим корни $x_1 = 7$ и $x_2 = -3$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в первое уравнение $y = x + 6$:
При $x_1 = 7$: $y_1 = 7 + 6 = 13$.
При $x_2 = -3$: $y_2 = -3 + 6 = 3$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(-3, 3), (7, 13)$.

2) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} x = 2 - y \\ y^2 + x = 32 \end{cases}$
Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$y^2 + (2 - y) = 32$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$y^2 - y + 2 - 32 = 0$
$y^2 - y - 30 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, произведение корней равно $-30$, а их сумма равна $1$. Корни: $y_1 = 6$ и $y_2 = -5$.
Найдем соответствующие значения $x$, используя первое уравнение $x = 2 - y$:
При $y_1 = 6$: $x_1 = 2 - 6 = -4$.
При $y_2 = -5$: $x_2 = 2 - (-5) = 2 + 5 = 7$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(-4, 6), (7, -5)$.

3) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} x + 2y = 1 \\ x + y^2 = 4 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $x$: $x = 1 - 2y$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(1 - 2y) + y^2 = 4$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$y^2 - 2y + 1 - 4 = 0$
$y^2 - 2y - 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно $-3$, а их сумма равна $2$. Корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения $x$, используя выражение $x = 1 - 2y$:
При $y_1 = 3$: $x_1 = 1 - 2(3) = 1 - 6 = -5$.
При $y_2 = -1$: $x_2 = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(-5, 3), (3, -1)$.

4) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} y - 3x = 2 \\ x^2 - 2y = 3 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $y$: $y = 3x + 2$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$x^2 - 2(3x + 2) = 3$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 6x - 4 = 3$
$x^2 - 6x - 4 - 3 = 0$
$x^2 - 6x - 7 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно $-7$, а их сумма равна $6$. Корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = 3x + 2$:
При $x_1 = 7$: $y_1 = 3(7) + 2 = 21 + 2 = 23$.
При $x_2 = -1$: $y_2 = 3(-1) + 2 = -3 + 2 = -1$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(-1, -1), (7, 23)$.

561. 1) $\begin{cases} x^2 + xy = 2, \\ y - 3x = 7; \end{cases}$ 2) $\begin{cases} x^2 - xy - y^2 = 19, \\ x - y = 7; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x + y = 1, \\ x^2 + y^2 = 5; \end{cases}$ 4) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \\ x - y = 3. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + xy = 2, \\ y - 3x = 7. \end{cases} $
Это система, состоящая из одного квадратного и одного линейного уравнения. Для ее решения удобно использовать метод подстановки.
Выразим y из второго уравнения:
$y = 3x + 7$
Теперь подставим это выражение для y в первое уравнение системы:
$x^2 + x(3x + 7) = 2$
Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:
$x^2 + 3x^2 + 7x = 2$
$4x^2 + 7x - 2 = 0$
Мы получили квадратное уравнение относительно x. Решим его с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81$
$\sqrt{D} = 9$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{-16}{8} = -2$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
Теперь найдем соответствующие значения y для каждого найденного значения x.
При $x_1 = -2$:
$y_1 = 3x_1 + 7 = 3(-2) + 7 = -6 + 7 = 1$
Первое решение системы: $(-2, 1)$.
При $x_2 = \frac{1}{4}$:
$y_2 = 3x_2 + 7 = 3\left(\frac{1}{4}\right) + 7 = \frac{3}{4} + 7 = \frac{3+28}{4} = \frac{31}{4}$
Второе решение системы: $(\frac{1}{4}, \frac{31}{4})$.

Ответ: $(-2, 1)$, $(\frac{1}{4}, \frac{31}{4})$.

2) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 - xy - y^2 = 19, \\ x - y = 7. \end{cases} $
Используем метод подстановки. Выразим x из второго уравнения:
$x = y + 7$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$(y + 7)^2 - (y + 7)y - y^2 = 19$
Раскроем скобки:
$(y^2 + 14y + 49) - (y^2 + 7y) - y^2 = 19$
$y^2 + 14y + 49 - y^2 - 7y - y^2 = 19$
Приведем подобные члены:
$-y^2 + 7y + 49 = 19$
$-y^2 + 7y + 30 = 0$
Умножим уравнение на -1 для удобства:
$y^2 - 7y - 30 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение -30. Корни: $y_1 = 10$ и $y_2 = -3$.
Найдем соответствующие значения x.
При $y_1 = 10$:
$x_1 = y_1 + 7 = 10 + 7 = 17$
Первое решение: $(17, 10)$.
При $y_2 = -3$:
$x_2 = y_2 + 7 = -3 + 7 = 4$
Второе решение: $(4, -3)$.

Ответ: $(17, 10)$, $(4, -3)$.

3) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x + y = 1, \\ x^2 + y^2 = 5. \end{cases} $
Применим метод подстановки. Выразим y из первого уравнения:
$y = 1 - x$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$x^2 + (1 - x)^2 = 5$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:
$x^2 + (1 - 2x + x^2) = 5$
$2x^2 - 2x + 1 = 5$
$2x^2 - 2x - 4 = 0$
Разделим все уравнение на 2:
$x^2 - x - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение -2. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения y.
При $x_1 = 2$:
$y_1 = 1 - x_1 = 1 - 2 = -1$
Первое решение: $(2, -1)$.
При $x_2 = -1$:
$y_2 = 1 - x_2 = 1 - (-1) = 2$
Второе решение: $(-1, 2)$.

Ответ: $(2, -1)$, $(-1, 2)$.

4) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \\ x - y = 3. \end{cases} $
Снова используем метод подстановки. Выразим x из второго уравнения:
$x = y + 3$
Подставим полученное выражение в первое уравнение:
$(y + 3)^2 + y^2 = 17$
Раскроем скобки:
$(y^2 + 6y + 9) + y^2 = 17$
$2y^2 + 6y + 9 = 17$
$2y^2 + 6y - 8 = 0$
Разделим все уравнение на 2:
$y^2 + 3y - 4 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение -4. Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -4$.
Найдем соответствующие значения x.
При $y_1 = 1$:
$x_1 = y_1 + 3 = 1 + 3 = 4$
Первое решение: $(4, 1)$.
При $y_2 = -4$:
$x_2 = y_2 + 3 = -4 + 3 = -1$
Второе решение: $(-1, -4)$.

Ответ: $(4, 1)$, $(-1, -4)$.

562. 1) $\begin{cases} x+y=5, \\ xy=6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} xy=7, \\ x+y=8; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x+y=12, \\ xy=11; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x+y=-7, \\ xy=10. \end{cases}$

1)

Данная система является симметрической. Для её решения удобно использовать теорему, обратную теореме Виета. Согласно этой теореме, если известны сумма и произведение двух чисел, то эти числа являются корнями некоторого квадратного уравнения. Если $x+y=S$ и $xy=P$, то $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - St + P = 0$.

В нашем случае, $x+y=5$ и $xy=6$. Составим соответствующее квадратное уравнение:
$t^2 - 5t + 6 = 0$.

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Таким образом, числа $x$ и $y$ равны 2 и 3. Система имеет два решения в виде пар чисел.

Ответ: $(2; 3), (3; 2)$.

2)

Дана система: $xy = 7$, $x+y = 8$. Эта система также является симметрической.

Воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета. Составим квадратное уравнение $t^2 - (x+y)t + xy = 0$, корнями которого будут $x$ и $y$.

Подставим значения из системы: $t^2 - 8t + 7 = 0$.

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$.

Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{36}}{2} = \frac{8 - 6}{2} = 1$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{36}}{2} = \frac{8 + 6}{2} = 7$.

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(1; 7)$ и $(7; 1)$.

Ответ: $(1; 7), (7; 1)$.

3)

Дана система: $x+y = 12$, $xy = 11$.

Используем теорему, обратную теореме Виета, и составим квадратное уравнение $t^2 - (x+y)t + xy = 0$, корнями которого являются $x$ и $y$.

Подставим данные из системы: $t^2 - 12t + 11 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 144 - 44 = 100$.

Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{100}}{2} = \frac{12 - 10}{2} = 1$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + \sqrt{100}}{2} = \frac{12 + 10}{2} = 11$.

Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(1; 11)$ и $(11; 1)$.

Ответ: $(1; 11), (11; 1)$.

4)

Дана система: $x+y = -7$, $xy = 10$.

Применим теорему, обратную теореме Виета. Составим квадратное уравнение $t^2 - (x+y)t + xy = 0$, корнями которого будут $x$ и $y$.

Подставим значения из системы: $t^2 - (-7)t + 10 = 0$, что равносильно $t^2 + 7t + 10 = 0$.

Решим полученное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.

Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-7 - 3}{2} = -5$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-7 + 3}{2} = -2$.

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(-5; -2)$ и $(-2; -5)$.

Ответ: $(-5; -2), (-2; -5)$.