Номер 561, страница 232 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 33. Исследование и решение систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 561, страница 232.

Условие.

561. 1) $\begin{cases} x^2 + xy = 2, \\ y - 3x = 7; \end{cases}$ 2) $\begin{cases} x^2 - xy - y^2 = 19, \\ x - y = 7; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x + y = 1, \\ x^2 + y^2 = 5; \end{cases}$ 4) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \\ x - y = 3. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + xy = 2, \\ y - 3x = 7. \end{cases} $
Это система, состоящая из одного квадратного и одного линейного уравнения. Для ее решения удобно использовать метод подстановки.
Выразим y из второго уравнения:
$y = 3x + 7$
Теперь подставим это выражение для y в первое уравнение системы:
$x^2 + x(3x + 7) = 2$
Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:
$x^2 + 3x^2 + 7x = 2$
$4x^2 + 7x - 2 = 0$
Мы получили квадратное уравнение относительно x. Решим его с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81$
$\sqrt{D} = 9$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{-16}{8} = -2$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
Теперь найдем соответствующие значения y для каждого найденного значения x.
При $x_1 = -2$:
$y_1 = 3x_1 + 7 = 3(-2) + 7 = -6 + 7 = 1$
Первое решение системы: $(-2, 1)$.
При $x_2 = \frac{1}{4}$:
$y_2 = 3x_2 + 7 = 3\left(\frac{1}{4}\right) + 7 = \frac{3}{4} + 7 = \frac{3+28}{4} = \frac{31}{4}$
Второе решение системы: $(\frac{1}{4}, \frac{31}{4})$.

Ответ: $(-2, 1)$, $(\frac{1}{4}, \frac{31}{4})$.

2) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 - xy - y^2 = 19, \\ x - y = 7. \end{cases} $
Используем метод подстановки. Выразим x из второго уравнения:
$x = y + 7$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$(y + 7)^2 - (y + 7)y - y^2 = 19$
Раскроем скобки:
$(y^2 + 14y + 49) - (y^2 + 7y) - y^2 = 19$
$y^2 + 14y + 49 - y^2 - 7y - y^2 = 19$
Приведем подобные члены:
$-y^2 + 7y + 49 = 19$
$-y^2 + 7y + 30 = 0$
Умножим уравнение на -1 для удобства:
$y^2 - 7y - 30 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение -30. Корни: $y_1 = 10$ и $y_2 = -3$.
Найдем соответствующие значения x.
При $y_1 = 10$:
$x_1 = y_1 + 7 = 10 + 7 = 17$
Первое решение: $(17, 10)$.
При $y_2 = -3$:
$x_2 = y_2 + 7 = -3 + 7 = 4$
Второе решение: $(4, -3)$.

Ответ: $(17, 10)$, $(4, -3)$.

3) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x + y = 1, \\ x^2 + y^2 = 5. \end{cases} $
Применим метод подстановки. Выразим y из первого уравнения:
$y = 1 - x$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$x^2 + (1 - x)^2 = 5$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:
$x^2 + (1 - 2x + x^2) = 5$
$2x^2 - 2x + 1 = 5$
$2x^2 - 2x - 4 = 0$
Разделим все уравнение на 2:
$x^2 - x - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение -2. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения y.
При $x_1 = 2$:
$y_1 = 1 - x_1 = 1 - 2 = -1$
Первое решение: $(2, -1)$.
При $x_2 = -1$:
$y_2 = 1 - x_2 = 1 - (-1) = 2$
Второе решение: $(-1, 2)$.

Ответ: $(2, -1)$, $(-1, 2)$.

4) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \\ x - y = 3. \end{cases} $
Снова используем метод подстановки. Выразим x из второго уравнения:
$x = y + 3$
Подставим полученное выражение в первое уравнение:
$(y + 3)^2 + y^2 = 17$
Раскроем скобки:
$(y^2 + 6y + 9) + y^2 = 17$
$2y^2 + 6y + 9 = 17$
$2y^2 + 6y - 8 = 0$
Разделим все уравнение на 2:
$y^2 + 3y - 4 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение -4. Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -4$.
Найдем соответствующие значения x.
При $y_1 = 1$:
$x_1 = y_1 + 3 = 1 + 3 = 4$
Первое решение: $(4, 1)$.
При $y_2 = -4$:
$x_2 = y_2 + 3 = -4 + 3 = -1$
Второе решение: $(-1, -4)$.

Ответ: $(4, 1)$, $(-1, -4)$.