Номер 563, страница 233 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 33. Исследование и решение систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 563, страница 233.

Условие.

563. 1) $ \begin{cases} x - y = 7, \\ x^2 - y^2 = 14; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x + y = 3, \\ x^2 - y^2 = 15; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 24, \\ x + y = 4; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 8, \\ x - y = 2. \end{cases} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - y = 7 \\ x^2 - y^2 = 14 \end{cases}$

Во втором уравнении используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Тогда второе уравнение примет вид: $(x - y)(x + y) = 14$.

Из первого уравнения мы знаем, что $x - y = 7$. Подставим это значение во второе уравнение:

$7 \cdot (x + y) = 14$

Отсюда находим $x + y$:

$x + y = \frac{14}{7} = 2$

Теперь у нас есть новая, более простая система линейных уравнений:

$\begin{cases} x - y = 7 \\ x + y = 2 \end{cases}$

Сложим два уравнения системы:

$(x - y) + (x + y) = 7 + 2$

$2x = 9$

$x = \frac{9}{2} = 4.5$

Подставим найденное значение $x$ в уравнение $x + y = 2$:

$4.5 + y = 2$

$y = 2 - 4.5 = -2.5$

Ответ: $(4.5; -2.5)$

2) Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = 3 \\ x^2 - y^2 = 15 \end{cases}$

Во втором уравнении используем формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = 15$.

Из первого уравнения известно, что $x + y = 3$. Подставим это значение во второе уравнение:

$(x - y) \cdot 3 = 15$

Отсюда находим $x - y$:

$x - y = \frac{15}{3} = 5$

Получаем систему линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 5 \end{cases}$

Сложим два уравнения системы:

$(x + y) + (x - y) = 3 + 5$

$2x = 8$

$x = \frac{8}{2} = 4$

Подставим найденное значение $x$ в уравнение $x + y = 3$:

$4 + y = 3$

$y = 3 - 4 = -1$

Ответ: $(4; -1)$

3) Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 24 \\ x + y = 4 \end{cases}$

В первом уравнении используем формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = 24$.

Из второго уравнения известно, что $x + y = 4$. Подставим это значение в первое уравнение:

$(x - y) \cdot 4 = 24$

Отсюда находим $x - y$:

$x - y = \frac{24}{4} = 6$

Получаем систему линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 6 \end{cases}$

Сложим два уравнения системы:

$(x + y) + (x - y) = 4 + 6$

$2x = 10$

$x = \frac{10}{2} = 5$

Подставим найденное значение $x$ в уравнение $x + y = 4$:

$5 + y = 4$

$y = 4 - 5 = -1$

Ответ: $(5; -1)$

4) Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 8 \\ x - y = 2 \end{cases}$

В первом уравнении используем формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = 8$.

Из второго уравнения известно, что $x - y = 2$. Подставим это значение в первое уравнение:

$2 \cdot (x + y) = 8$

Отсюда находим $x + y$:

$x + y = \frac{8}{2} = 4$

Получаем систему линейных уравнений:

$\begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 4 \end{cases}$

Сложим два уравнения системы:

$(x - y) + (x + y) = 2 + 4$

$2x = 6$

$x = \frac{6}{2} = 3$

Подставим найденное значение $x$ в уравнение $x + y = 4$:

$3 + y = 4$

$y = 4 - 3 = 1$

Ответ: $(3; 1)$