Номер 564, страница 233 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 33. Исследование и решение систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 564, страница 233.

Условие.

564. 1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \\ xy = 4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} xy = 10, \\ x^2 + y^2 = 29; \end{cases}$

3) $\begin{cases} xy = 3, \\ x^2 + y^2 = 10; \end{cases}$

4) $\begin{cases} xy = 5, \\ x^2 + y^2 = 26. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \\ xy = 4. \end{cases} $

Для решения этой симметрической системы уравнений воспользуемся тождеством $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.

Подставим значения из уравнений системы:

$(x+y)^2 = 17 + 2 \cdot 4 = 17 + 8 = 25$.

Из этого следует, что $x+y = 5$ или $x+y = -5$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x+y = 5$ и $xy = 4$.

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$.

Таким образом, получаем две пары решений: $(1, 4)$ и $(4, 1)$.

Случай 2: $x+y = -5$ и $xy = 4$.

В этом случае $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - (-5)t + 4 = 0$, то есть $t^2 + 5t + 4 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = -1$, $t_2 = -4$.

Это дает нам еще две пары решений: $(-1, -4)$ и $(-4, -1)$.

Ответ: $(1, 4), (4, 1), (-1, -4), (-4, -1)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xy = 10, \\ x^2 + y^2 = 29. \end{cases} $

Найдем сумму $(x+y)^2$, используя тождество $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.

Подставляем значения из системы: $(x+y)^2 = 29 + 2 \cdot 10 = 29 + 20 = 49$.

Отсюда $x+y = 7$ или $x+y = -7$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x+y = 7$ и $xy = 10$.

$x$ и $y$ — корни квадратного уравнения $t^2 - 7t + 10 = 0$.

Корни: $t_1 = 2$, $t_2 = 5$.

Пары решений: $(2, 5)$ и $(5, 2)$.

Случай 2: $x+y = -7$ и $xy = 10$.

$x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - (-7)t + 10 = 0$, то есть $t^2 + 7t + 10 = 0$.

Корни: $t_1 = -2$, $t_2 = -5$.

Пары решений: $(-2, -5)$ и $(-5, -2)$.

Ответ: $(2, 5), (5, 2), (-2, -5), (-5, -2)$.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xy = 3, \\ x^2 + y^2 = 10. \end{cases} $

Используем тождество $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.

$(x+y)^2 = 10 + 2 \cdot 3 = 10 + 6 = 16$.

Следовательно, $x+y = 4$ или $x+y = -4$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x+y = 4$ и $xy = 3$.

$x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$.

Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 3$.

Решения: $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Случай 2: $x+y = -4$ и $xy = 3$.

$x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - (-4)t + 3 = 0$, то есть $t^2 + 4t + 3 = 0$.

Корни: $t_1 = -1$, $t_2 = -3$.

Решения: $(-1, -3)$ и $(-3, -1)$.

Ответ: $(1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1)$.

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xy = 5, \\ x^2 + y^2 = 26. \end{cases} $

Используем тождество $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.

$(x+y)^2 = 26 + 2 \cdot 5 = 26 + 10 = 36$.

Отсюда $x+y = 6$ или $x+y = -6$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x+y = 6$ и $xy = 5$.

$x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - 6t + 5 = 0$.

Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 5$.

Пары решений: $(1, 5)$ и $(5, 1)$.

Случай 2: $x+y = -6$ и $xy = 5$.

$x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - (-6)t + 5 = 0$, то есть $t^2 + 6t + 5 = 0$.

Корни: $t_1 = -1$, $t_2 = -5$.

Пары решений: $(-1, -5)$ и $(-5, -1)$.

Ответ: $(1, 5), (5, 1), (-1, -5), (-5, -1)$.