Номер 570, страница 233 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 33. Исследование и решение систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 570, страница 233.

Условие.

570. 1) ${ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 8, \\ x - y = 16; \end{cases} }$

2) ${ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1, \\ x - y = 5. \end{cases} }$

Решение 3.

Решение 4.

1) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 8 \\ x - y = 16 \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы: $x \ge 0$ и $y \ge 0$, так как переменные находятся под знаком квадратного корня.

Рассмотрим второе уравнение системы $x - y = 16$. Поскольку $x$ и $y$ неотрицательны, мы можем представить их как квадраты своих корней: $x = (\sqrt{x})^2$ и $y = (\sqrt{y})^2$. Тогда уравнение примет вид:

$(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = 16$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 16$.

Из первого уравнения системы нам известно, что $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 8$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:

$(\sqrt{x} - \sqrt{y}) \cdot 8 = 16$.

Разделим обе части уравнения на 8:

$\sqrt{x} - \sqrt{y} = 2$.

Теперь мы получили новую, более простую систему уравнений, эквивалентную исходной (с учетом ОДЗ):

$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 8 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 2 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $\sqrt{x}$:

$(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 8 + 2$

$2\sqrt{x} = 10$

$\sqrt{x} = 5$

Возведем обе части в квадрат:

$x = 5^2 = 25$.

Теперь подставим значение $\sqrt{x} = 5$ в первое уравнение новой системы ($\sqrt{x} + \sqrt{y} = 8$), чтобы найти $\sqrt{y}$:

$5 + \sqrt{y} = 8$

$\sqrt{y} = 3$

Возведем обе части в квадрат:

$y = 3^2 = 9$.

Получили решение $(25; 9)$. Проверим его, подставив в исходную систему:

$\sqrt{25} + \sqrt{9} = 5 + 3 = 8$ (верно).

$25 - 9 = 16$ (верно).

Ответ: $x=25, y=9$.

2) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \\ x - y = 5 \end{cases} $

ОДЗ: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Как и в предыдущем задании, преобразуем второе уравнение $x - y = 5$, используя тот факт, что $x = (\sqrt{x})^2$ и $y = (\sqrt{y})^2$:

$(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = 5$.

Применим формулу разности квадратов:

$(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 5$.

Из первого уравнения системы нам дано, что $\sqrt{x} - \sqrt{y} = 1$. Подставим это значение:

$1 \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 5$

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$.

Теперь решим новую систему уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения:

$(\sqrt{x} - \sqrt{y}) + (\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 1 + 5$

$2\sqrt{x} = 6$

$\sqrt{x} = 3$

Возведем в квадрат:

$x = 3^2 = 9$.

Подставим значение $\sqrt{x} = 3$ в уравнение $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$:

$3 + \sqrt{y} = 5$

$\sqrt{y} = 2$

Возведем в квадрат:

$y = 2^2 = 4$.

Получили решение $(9; 4)$. Выполним проверку:

$\sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$ (верно).

$9 - 4 = 5$ (верно).

Ответ: $x=9, y=4$.