Номер 567, страница 233 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 33. Исследование и решение систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 567, страница 233.

Условие.

567. Решить систему уравнений:

1) $\begin{cases} x = 2y - 3; \\ y^2 - 2x = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y = 6, \\ xy = -7; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 21, \\ x + y = 7. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x = 2y - 3 \\ y^2 - 2x = 3 \end{cases} $
Для решения этой системы воспользуемся методом подстановки. Выражение для $x$ из первого уравнения подставим во второе уравнение:
$ y^2 - 2(2y - 3) = 3 $
Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения:
$ y^2 - 4y + 6 = 3 $
$ y^2 - 4y + 3 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Можно найти корни с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Следовательно, корни уравнения:
$ y_1 = 1 $
$ y_2 = 3 $
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя первое уравнение системы $x = 2y - 3$:
Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1$.
Если $y_2 = 3$, то $x_2 = 2(3) - 3 = 6 - 3 = 3$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(-1; 1)$, $(3; 3)$.

2) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 6 \\ xy = -7 \end{cases} $
Эту систему удобно решать методом подстановки. Выразим переменную $y$ из первого уравнения:
$ y = 6 - x $
Подставим это выражение во второе уравнение:
$ x(6 - x) = -7 $
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$ 6x - x^2 = -7 $
$ x^2 - 6x - 7 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение -7. Отсюда находим корни:
$ x_1 = 7 $
$ x_2 = -1 $
Найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = 6 - x$:
Если $x_1 = 7$, то $y_1 = 6 - 7 = -1$.
Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 6 - (-1) = 6 + 1 = 7$.
Система имеет два решения, которые являются симметричными парами.
Ответ: $(7; -1)$, $(-1; 7)$.

3) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 21 \\ x + y = 7 \end{cases} $
В первом уравнении используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$ (x - y)(x + y) = 21 $
Теперь мы можем подставить значение $x+y$ из второго уравнения ($x+y=7$) в преобразованное первое уравнение:
$ (x - y) \cdot 7 = 21 $
Разделим обе части уравнения на 7, чтобы найти значение выражения $x-y$:
$ x - y = \frac{21}{7} $
$ x - y = 3 $
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = 3 \end{cases} $
Сложим эти два уравнения, чтобы исключить переменную $y$:
$ (x + y) + (x - y) = 7 + 3 $
$ 2x = 10 $
$ x = 5 $
Подставим найденное значение $x=5$ в любое из уравнений системы, например, в $x+y=7$:
$ 5 + y = 7 $
$ y = 7 - 5 $
$ y = 2 $
Таким образом, найдено единственное решение системы.
Ответ: $(5; 2)$.