Номер 568, страница 233 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 33. Исследование и решение систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 568, страница 233.

Условие.

Решить систему уравнений (568—570).

568. 1) $\begin{cases} x - y = 2, \\ xy = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - y = 3, \\ xy = 4; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 46, \\ xy = 10; \end{cases}$

4) $\begin{cases} (x - y)^2 = 4, \\ x + y = 6; \end{cases}$

5) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 0, \\ 4 + xy = 0; \end{cases}$

6) $\begin{cases} x + y = 4, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1. \end{cases}$

Решение 3.

Решение 4.

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - y = 2 \\ xy = 3 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y + 2$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(y + 2)y = 3$

$y^2 + 2y - 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Решим его, например, по теореме Виета. Сумма корней равна -2, произведение равно -3. Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 + 2 = 3$. Получаем пару $(3; 1)$.

Если $y_2 = -3$, то $x_2 = -3 + 2 = -1$. Получаем пару $(-1; -3)$.

Ответ: $(3; 1)$, $(-1; -3)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - y = 3 \\ xy = 4 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$:

$x = y + 3$

Подставим во второе уравнение:

$(y + 3)y = 4$

$y^2 + 3y - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -3, произведение равно -4. Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -4$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 + 3 = 4$. Получаем пару $(4; 1)$.

Если $y_2 = -4$, то $x_2 = -4 + 3 = -1$. Получаем пару $(-1; -4)$.

Ответ: $(4; 1)$, $(-1; -4)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 46 \\ xy = 10 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$ (заметим, что $x \neq 0$, иначе $xy=0$):

$y = \frac{10}{x}$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2x^2 - \left(\frac{10}{x}\right)^2 = 46$

$2x^2 - \frac{100}{x^2} = 46$

Умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$2x^4 - 100 = 46x^2$

$2x^4 - 46x^2 - 100 = 0$

Разделим уравнение на 2: $x^4 - 23x^2 - 50 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$ (где $t \ge 0$):

$t^2 - 23t - 50 = 0$

Найдем корни по формуле для корней квадратного уравнения:
$D = (-23)^2 - 4(1)(-50) = 529 + 200 = 729 = 27^2$

$t = \frac{23 \pm \sqrt{729}}{2} = \frac{23 \pm 27}{2}$

$t_1 = \frac{23 + 27}{2} = 25$

$t_2 = \frac{23 - 27}{2} = -2$

Так как $t = x^2$, то $t$ не может быть отрицательным, поэтому корень $t_2 = -2$ является посторонним.

Вернемся к замене: $x^2 = 25$, откуда $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Найдем соответствующие значения $y$ из $y = \frac{10}{x}$:

Если $x_1 = 5$, то $y_1 = \frac{10}{5} = 2$. Пара $(5; 2)$.

Если $x_2 = -5$, то $y_2 = \frac{10}{-5} = -2$. Пара $(-5; -2)$.

Ответ: $(5; 2)$, $(-5; -2)$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} (x - y)^2 = 4 \\ x + y = 6 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $x - y = \sqrt{4}$, то есть $x - y = 2$ или $x - y = -2$.

Это позволяет разбить задачу на две независимые системы линейных уравнений.

Случай 1:

$\begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 6 \end{cases}$

Сложим два уравнения: $(x - y) + (x + y) = 2 + 6 \implies 2x = 8 \implies x = 4$.

Подставим $x = 4$ во второе уравнение: $4 + y = 6 \implies y = 2$.

Получили решение $(4; 2)$.

Случай 2:

$\begin{cases} x - y = -2 \\ x + y = 6 \end{cases}$

Сложим два уравнения: $(x - y) + (x + y) = -2 + 6 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.

Подставим $x = 2$ во второе уравнение: $2 + y = 6 \implies y = 4$.

Получили решение $(2; 4)$.

Ответ: $(4; 2)$, $(2; 4)$.

5)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 0 \\ 4 + xy = 0 \end{cases}$

Первое уравнение можно разложить на множители как разность квадратов:

$(x - y)(x + y) = 0$

Это равенство выполняется, если $x - y = 0$ (то есть $x = y$), либо $x + y = 0$ (то есть $x = -y$).

Рассмотрим оба случая, подставляя их во второе уравнение $4 + xy = 0$.

Случай 1: $x = y$

Подставляем во второе уравнение: $4 + y \cdot y = 0 \implies 4 + y^2 = 0 \implies y^2 = -4$.

Это уравнение не имеет действительных решений.

Случай 2: $x = -y$ (или $y = -x$)

Подставляем во второе уравнение: $4 + x(-x) = 0 \implies 4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4$.

Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$ из соотношения $y = -x$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = -2$. Пара $(2; -2)$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -(-2) = 2$. Пара $(-2; 2)$.

Ответ: $(2; -2)$, $(-2; 2)$.

6)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = 4 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Преобразуем второе уравнение, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{y + x}{xy} = 1$

Из первого уравнения известно, что $x + y = 4$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:

$\frac{4}{xy} = 1$

Отсюда следует, что $xy = 4$.

Таким образом, исходная система равносильна следующей системе:

$\begin{cases} x + y = 4 \\ xy = 4 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставим известные значения суммы и произведения корней:

$t^2 - 4t + 4 = 0$

Это уравнение является полным квадратом: $(t-2)^2 = 0$.

Уравнение имеет единственный корень $t = 2$ кратности 2. Следовательно, $x = 2$ и $y = 2$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(2; 2)$.