Номер 560, страница 232 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 33. Исследование и решение систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 560, страница 232.

Условие.

Решить систему уравнений (560–564).

560. 1) $\begin{cases} y = x + 6, \\ x^2 - 4y = -3 \end{cases}$;

2) $\begin{cases} x = 2 - y, \\ y^2 + x = 32 \end{cases}$;

3) $\begin{cases} x + 2y = 1, \\ x + y^2 = 4 \end{cases}$;

4) $\begin{cases} y - 3x = 2, \\ x^2 - 2y = 3 \end{cases}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} y = x + 6 \\ x^2 - 4y = -3 \end{cases}$
Воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$x^2 - 4(x + 6) = -3$
Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 4x - 24 = -3$
$x^2 - 4x - 24 + 3 = 0$
$x^2 - 4x - 21 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-21$, а их сумма равна $4$. Подбором находим корни $x_1 = 7$ и $x_2 = -3$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в первое уравнение $y = x + 6$:
При $x_1 = 7$: $y_1 = 7 + 6 = 13$.
При $x_2 = -3$: $y_2 = -3 + 6 = 3$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(-3, 3), (7, 13)$.

2) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} x = 2 - y \\ y^2 + x = 32 \end{cases}$
Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$y^2 + (2 - y) = 32$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$y^2 - y + 2 - 32 = 0$
$y^2 - y - 30 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, произведение корней равно $-30$, а их сумма равна $1$. Корни: $y_1 = 6$ и $y_2 = -5$.
Найдем соответствующие значения $x$, используя первое уравнение $x = 2 - y$:
При $y_1 = 6$: $x_1 = 2 - 6 = -4$.
При $y_2 = -5$: $x_2 = 2 - (-5) = 2 + 5 = 7$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(-4, 6), (7, -5)$.

3) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} x + 2y = 1 \\ x + y^2 = 4 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $x$: $x = 1 - 2y$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(1 - 2y) + y^2 = 4$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$y^2 - 2y + 1 - 4 = 0$
$y^2 - 2y - 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно $-3$, а их сумма равна $2$. Корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения $x$, используя выражение $x = 1 - 2y$:
При $y_1 = 3$: $x_1 = 1 - 2(3) = 1 - 6 = -5$.
При $y_2 = -1$: $x_2 = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(-5, 3), (3, -1)$.

4) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} y - 3x = 2 \\ x^2 - 2y = 3 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $y$: $y = 3x + 2$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$x^2 - 2(3x + 2) = 3$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 6x - 4 = 3$
$x^2 - 6x - 4 - 3 = 0$
$x^2 - 6x - 7 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно $-7$, а их сумма равна $6$. Корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = 3x + 2$:
При $x_1 = 7$: $y_1 = 3(7) + 2 = 21 + 2 = 23$.
При $x_2 = -1$: $y_2 = 3(-1) + 2 = -3 + 2 = -1$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(-1, -1), (7, 23)$.