Страница 231 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Что называется решением системы уравнений с двумя неизвестными?

1. Что называется решением системы уравнений с двумя неизвестными?

Решением системы уравнений с двумя неизвестными (например, $x$ и $y$) называется упорядоченная пара чисел $(x_0; y_0)$, которая удовлетворяет каждому уравнению системы. Это означает, что если подставить значения $x_0$ вместо $x$ и $y_0$ вместо $y$ во все уравнения, входящие в систему, то каждое из них превратится в верное числовое равенство.

Рассмотрим пример. Пусть дана система уравнений:

Проверим, является ли пара чисел $(1; 2)$ решением этой системы. Для этого выполним подстановку $x=1$ и $y=2$ в оба уравнения:

1. Проверка для первого уравнения: $1 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5$. Равенство $5 = 5$ является верным.
2. Проверка для второго уравнения: $3 \cdot 1 - 2 = 3 - 2 = 1$. Равенство $1 = 1$ также является верным.

Поскольку пара чисел $(1; 2)$ обращает в верное равенство каждое из уравнений системы, она является решением данной системы.

Если бы хотя бы одно из уравнений не обратилось в верное равенство, то пара чисел не была бы решением системы. Например, пара $(3; 1)$ является решением первого уравнения ($3 + 2 \cdot 1 = 5$), но не является решением второго ($3 \cdot 3 - 1 = 8 \neq 1$), поэтому она не является решением всей системы.

Геометрически, если каждое уравнение системы задает на координатной плоскости некоторую линию (например, прямую для линейного уравнения), то решением системы будут координаты точки (или точек) пересечения этих линий.

Ответ: Решением системы уравнений с двумя неизвестными называется упорядоченная пара чисел, при подстановке которой в каждое уравнение системы получается верное числовое равенство.

2. Как определить число решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными?

Для определения числа решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными вида:

$$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$

необходимо проанализировать соотношение их коэффициентов $a_1, b_1, c_1$ и $a_2, b_2, c_2$. Каждое уравнение в системе описывает прямую на плоскости, и число решений системы соответствует количеству точек пересечения этих прямых. Существует три возможных варианта.

Случай 1: Система имеет одно решение

Это происходит, когда прямые, являющиеся графиками уравнений, пересекаются в одной-единственной точке. Такое возможно, если угловые коэффициенты прямых не равны. Алгебраически это условие выражается через неравенство отношений коэффициентов при соответствующих переменных.

Условие для единственного решения: отношение коэффициентов при $x$ не равно отношению коэффициентов при $y$.
Ответ: система имеет одно решение, если $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$.

Случай 2: Система не имеет решений

Это происходит, когда прямые параллельны и не совпадают, то есть не имеют ни одной общей точки. У таких прямых равны угловые коэффициенты, но они по-разному смещены относительно начала координат. Алгебраически это означает, что отношения коэффициентов при переменных $x$ и $y$ равны, но не равны отношению свободных членов.

Условие отсутствия решений: отношения коэффициентов при $x$ и $y$ равны, но отличаются от отношения свободных членов.
Ответ: система не имеет решений, если $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.

Случай 3: Система имеет бесконечно много решений

Это происходит, когда прямые совпадают, то есть все их точки являются общими. В этом случае одно уравнение системы можно получить из другого умножением на ненулевой множитель, то есть уравнения пропорциональны. Алгебраически это означает, что отношения коэффициентов при $x$, при $y$ и свободных членов равны между собой.

Условие для бесконечного числа решений: все три отношения равны.
Ответ: система имеет бесконечно много решений, если $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.

3. На основании каких свойств уравнений и способов решения систем уравнений можно решить систему:

1) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ xy = -6; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 11, \\ x + y = -1; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x - y = 3, \\ xy = 88? \end{cases} $

1)Для решения системы $\begin{cases}x^2 + y^2 = 13 \\xy = -6\end{cases}$ можно применить способ, основанный на использовании формул сокращенного умножения. Данная система является симметрической, так как уравнения не изменятся, если поменять местами $x$ и $y$.

Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Мы можем выразить $x^2+y^2$ как $(x+y)^2 - 2xy$. Однако, удобнее будет преобразовать систему для нахождения $x+y$.Умножим второе уравнение системы на 2 (это равносильное преобразование): $2xy = -12$.Теперь сложим полученное уравнение с первым уравнением системы (метод алгебраического сложения):$(x^2 + y^2) + (2xy) = 13 + (-12)$$x^2 + 2xy + y^2 = 1$$(x+y)^2 = 1$Из этого уравнения следует, что $x+y=1$ или $x+y=-1$.

Таким образом, решение исходной системы сводится к решению двух более простых систем уравнений.

А) $\begin{cases}x+y = 1 \\xy = -6\end{cases}$
По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - t - 6 = 0$. Корни этого уравнения: $t_1=3$ и $t_2=-2$. Это дает нам две пары решений: $(3; -2)$ и $(-2; 3)$.

Б) $\begin{cases}x+y = -1 \\xy = -6\end{cases}$
Аналогично, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-1)t - 6 = 0$, то есть $t^2 + t - 6 = 0$. Корни этого уравнения: $t_1=-3$ и $t_2=2$. Это дает нам еще две пары решений: $(-3; 2)$ и $(2; -3)$.

Итак, для решения были использованы: свойство умножения уравнения на число, метод алгебраического сложения уравнений, формула квадрата суммы и теорема, обратная теореме Виета.
Ответ: $(3; -2)$, $(-2; 3)$, $(-3; 2)$, $(2; -3)$.

2)Для решения системы $\begin{cases}x^2 - y^2 = 11 \\x + y = -1\end{cases}$ целесообразно использовать свойство разложения на множители, применив формулу разности квадратов в первом уравнении: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

Преобразуем первое уравнение: $(x-y)(x+y) = 11$.

Теперь применим способ подстановки. Из второго уравнения системы мы знаем, что $x+y = -1$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:$(x-y) \cdot (-1) = 11$.Разделим обе части уравнения на -1:$x-y = -11$.

В результате исходная система свелась к равносильной ей системе линейных уравнений:$\begin{cases}x + y = -1 \\x - y = -11\end{cases}$

Решим эту систему способом алгебраического сложения. Сложим почленно левые и правые части уравнений:$(x+y) + (x-y) = -1 + (-11)$$2x = -12$$x = -6$.

Подставим найденное значение $x$ в уравнение $x+y = -1$:$-6 + y = -1$$y = 5$.

Для решения были использованы: формула разности квадратов, способ подстановки и способ алгебраического сложения.
Ответ: $(-6; 5)$.

3)Систему $\begin{cases}x - y = 3 \\xy = 88\end{cases}$ наиболее рационально решать способом подстановки.

Из первого уравнения выразим переменную $x$ через $y$. Это преобразование основано на свойстве переноса слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением знака:$x = 3 + y$.

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:$(3+y) \cdot y = 88$.

Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному квадратному виду:$y^2 + 3y = 88$$y^2 + 3y - 88 = 0$.

Мы получили квадратное уравнение, которое решается с помощью дискриминанта.$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-88) = 9 + 352 = 361 = 19^2$.Находим корни:
$y_1 = \frac{-3 - 19}{2} = \frac{-22}{2} = -11$.
$y_2 = \frac{-3 + 19}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя формулу $x = 3+y$:
Если $y_1 = -11$, то $x_1 = 3 + (-11) = -8$.
Если $y_2 = 8$, то $x_2 = 3 + 8 = 11$.

Таким образом, система была решена с помощью способа подстановки, который свёл её к одному квадратному уравнению.
Ответ: $(11; 8)$, $(-8; -11)$.

4. Указать два способа решения системы уравнений $\begin{cases} x+y=4, \\ xy=-12. \end{cases}$

Способ 1

Применим метод подстановки. Из первого уравнения системы $x + y = 4$ выразим одну переменную через другую, например, $x$:

$x = 4 - y$.

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы $xy = -12$:

$(4 - y)y = -12$.

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$4y - y^2 = -12$

$y^2 - 4y - 12 = 0$.

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$.

Теперь найдем корни уравнения для $y$ по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 8}{2} = 6$.

$y_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 8}{2} = -2$.

Найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя подстановку $x = 4 - y$:

Если $y_1 = 6$, то $x_1 = 4 - 6 = -2$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = 4 - (-2) = 6$.

Таким образом, система имеет два решения в виде пар чисел.

Ответ: $(-2; 6), (6; -2)$.

Способ 2

Воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета. Согласно этой теореме, если известны сумма $x+y$ и произведение $xy$ двух чисел, то эти числа являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

В нашей системе уравнений дано:

$$ \begin{cases} x + y = 4, \\ xy = -12. \end{cases} $$

Составим соответствующее квадратное уравнение, подставив в общую формулу $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ данные значения:

$t^2 - 4t - 12 = 0$.

Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета (сумма корней равна коэффициенту при $t$, взятому с противоположным знаком, то есть 4, а произведение корней равно свободному члену, то есть -12) или через дискриминант, как в первом способе. Подбором находим корни 6 и -2, так как:

$6 + (-2) = 4$

$6 \cdot (-2) = -12$.

Следовательно, корнями уравнения являются $t_1 = 6$ и $t_2 = -2$.

Эти корни и есть искомые значения переменных $x$ и $y$. Так как система симметрична относительно $x$ и $y$ (то есть при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$ уравнения не изменятся), то решениями являются две пары чисел.

Ответ: $(6; -2), (-2; 6)$.