Номер 552, страница 224 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 32. Решение задач с помощью квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 552, страница 224.

Условие.

552. Расстояние 30 км один из двух лыжников прошёл на 20 мин быстрее другого. Скорость первого лыжника была на 3 км/ч больше скорости второго. Какова скорость каждого лыжника?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть $v$ км/ч — скорость второго (более медленного) лыжника. Тогда скорость первого лыжника, который на 3 км/ч быстрее, составляет $(v + 3)$ км/ч.

Оба лыжника прошли расстояние $S = 30$ км. Время, которое затратил на путь каждый лыжник, можно найти по формуле $t = \frac{S}{v}$.

Время второго лыжника: $t_2 = \frac{30}{v}$ ч.

Время первого лыжника: $t_1 = \frac{30}{v + 3}$ ч.

По условию, один из лыжников (очевидно, тот, что быстрее, то есть первый) прошел дистанцию на 20 минут быстрее другого. Переведем разницу во времени в часы, чтобы все единицы измерения были согласованы:

$20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$

Разница во времени между вторым и первым лыжниками составляет $\frac{1}{3}$ часа. Составим уравнение:

$t_2 - t_1 = \frac{1}{3}$

$\frac{30}{v} - \frac{30}{v + 3} = \frac{1}{3}$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на общий знаменатель $3v(v+3)$, чтобы избавиться от дробей. При этом $v \neq 0$ и $v \neq -3$, что очевидно для скорости.

$30 \cdot 3(v + 3) - 30 \cdot 3v = 1 \cdot v(v + 3)$

$90(v + 3) - 90v = v(v + 3)$

Раскроем скобки:

$90v + 270 - 90v = v^2 + 3v$

Приведем подобные слагаемые:

$270 = v^2 + 3v$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 + 3v - 270 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-270) = 9 + 1080 = 1089$

Найдем корни уравнения, используя формулу $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$v = \frac{-3 \pm \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 33}{2}$

Уравнение имеет два корня:

$v_1 = \frac{-3 - 33}{2} = \frac{-36}{2} = -18$

$v_2 = \frac{-3 + 33}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_1 = -18$ не является решением задачи. Следовательно, скорость второго лыжника составляет 15 км/ч.

Теперь найдем скорость первого лыжника:

$v + 3 = 15 + 3 = 18$ км/ч.

Ответ: скорость первого лыжника — 18 км/ч, скорость второго лыжника — 15 км/ч.